度量的变分及其在黎曼几何中的应用

摘要

变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支。其理论完整,在力学、物理学、光学、摩擦学、经济学、宇航理论、信息论和自动控制论等诸多方面有广泛的应用。我们可以看到变分法在经典微分几何中的重要作用。有些文献通过活动标架得到关于度量的黎曼曲率张量、里奇曲率张量以及数量曲率张量的第一、第二变分公式,从而得到度量的体积变分与子流形的体积变分之间的关系。有了这些公式,我们把这些公式应用于作用在1-形式上热不变量的变分。从而得出一个结论:对于4维紧致黎曼流形M,如果度量g是共形平坦并且是热核不变量的临界点,那么M是数量平坦或空间形式。

目录

文摘

英文文摘

致谢

1 引言

2 变分法

2.1 古典变分问题举例

2.2 变分法的基本概念

2.3 泛函极值的条件

3 变分法在经典微分几何中的应用

3.1 预备知识

3.2 变分法的具体应用

3.2.1 测地线与变分法

3.2.2 极小曲面与变分法

4 变分法在黎曼几何中的应用

4.1 黎曼几何简介

4.2 预备知识

4.3 前人研究成果

4.4 相关结论

5 结论

参考文献

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