与W代数相关联的几类无限维李代数的结构和表示

摘要

二维共形场论(Confortnal Field Theory)是理论物理和统计物理研究的重要内容。在研究二维共形场的额外对称(Additional Svmmetrv)的过程中，A.B.Zamolodchikov[Z]在1985年引入了W代数．W代数又被称为扩展的共形代数(Extended confortnal Algebra)，主要用来描述共形场的对称性．它不仅在二维量子场论中有着广应用[BPZ]，而且为研究可积系统提供了有力工具[BG]．此外，W代数具有丰富的代数结构，与李理论的很多领域密切相关，比如Kac-Moody代数[Bfe]，顶点代数[ZD]，李超代数[FRP]等．因此，研究与W代数相关联的无限维李代数的结构与表示对理论物理以及李理论都具有一定的意义．
　　 本文主要研究了广义Schr(o)dinger—Virasoro代数，扭形变Schr(o)dinger-Virasoro代数以及一类无限维李代数称之为扩展W代数的结构和表示，这些李代数都包含特殊的W代数作为其子代数．
　　 第二章研究了广义Schr(o)dinger-Virasoro代数的中心扩张和导子代数，以及扭形变Schr(o)dinger-Virasoro代数的导子代数和自同构群．广义Schr(o)dinger-Virasoro代数是Schr(o)dinger-Virasoro代数的自然推广，其自同构群以及Venna模的完全可约性由文献[TZ]得到．目前，这类李代数的结构和表示理论的很多方面还没有得到完全研究．本文第二章的前半部分，确定了这类李代数的中心扩张和导子代数．扭形变Schr(o)dinger-Virasoro代数是Schr(o)dinger-Virasoro李代数的自然形变，它的运算关系中含有两个参数．对于参数的一些特殊取值，文献[RU]对这类代数的表示理论和同调理论进行了研究．在第二章的后半部分，通过对参数的全面讨论，给出了这类代数的导子代数和自同构群．
　　 第三章主要研究了形变Schr(o)dinger-Virasoro代数的中间序列的不可分解模．
　　 基于第二章的研究以及文献[LSZ]的结果，这类代数的结构问题已经得到了较全面的研究．但是，此类代数的表示问题，尤其是Harish-Chandra模的分类，至今还没有完整的结果．本文的第三章，利用文献[Su]所引入的方法，对此类代数的中间序列的不可分解模进行了讨论．这样，结合第三章以及文献[FLL]和[LS1]的结果，这类代数的中间序列的不可分解模得到了完全的分类．
　　 第四章定义了一类无限维李代数，称之为扩展W代数，研究了这类李代数的中心扩张，导子代数和自同构群．这类李代数可以看成无中心广义Witt代数以及它的两个中间序列模的半直积．它包含无中心的广义Witt代数和广义W代数W(a，b)作为其子代数．在它的运算关系中含有四个参数，对参数的不同取值，可以得到很多熟知的无限维李代数．由于此类代数的运算关系含有较多参数，因而，要对其结构和表示理论进行完全的研究是较为困难的．本文的最后一章，对这类李代数的二上同调群，导子代数以及自同构群进行了讨论．

目录

文摘

英文文摘

论文说明:关于编号和符号的说明

声明

第1章绪论

第2章Schr(o)dinger-Viraoro型李代数的结构

第3章形变Schr(o)dinger-Viraoro李代数中间序列的不可分解模

第4章一类无限维李代数W(G,α,β)的结构

参考文献

致谢

在读期间发表的学术论文与取得的研究成果