一种求解带非线性边界条件的椭圆偏微分方程多解的数值方法

摘要

对于工程技术领域内的许多力学问题和场问题，人们已经确定了它们应遵循的微分方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的边界条件。椭圆型偏微分方程边值问题主要应用于固体力学和流体力学，在许多文献中，都可以找到对其特解问题的分析和数值计算方法，例如有限元方法(FEM)，边界积分方程法(BIE)和边界元方法(BEM)。在物理学上，人们发现了非线性系统存在多个不稳定解，在数学上，也证明了这些解以不同的形态存在着。但是到目前为止，人们对这些解的认识还是很有局限的。在关于多解问题的绝大多数文献中，非线性项往往只出现在偏微分方程中，在本文中我们要解决的这类方程的非线性项出现在边界条件上。
　　 本文为了求解一个具有非线性边界条件并具有多解的椭圆型偏微分方程，提出了一种结合Newton迭代法、同伦延拓法以及边界元方法三种数值方法的新的数值方法——Newton同伦法。同时，我们定义了一个子空间，使得仅凭借边界上函数的信息就能够对方程进行有效的分析和数值计算。文中给出了Newton同伦法的具体算法。最后，为了更好地说明这种方法，我们给出了一些具体的数值算例，在不同的区域、不同的非线性项的情形下，对Newton同伦法进行了验证。

目录

声明

摘要

第1章 绪论

第2章 相关知识简介

2．1 Sobolev空间简介

2．1．1 Lp空间

2．1．2 弱(广义)导数

2．1．3 Sobolev空间

2．1．4 Sobolev空间中的Green公式

2．1．5 嵌入定理

2．1．6 迹定理

2．2 临界点定理

2．3 非线性偏微分方程的三种数值方法

2．4 边界元方法(BEM)

2．4．1 积分关系式

2．4．2 位势理论

2．4．3 单层位势的数值方法

第3章 Newton同伦法

3．1 基本算法思想

3．1．1 Newton同伦法基本思想

3．1．2 预备计算

3．1．3 Newton方向

3．1．4 步长

3．2 具体计算步骤

3．2．1 求解v(k)i+1和s(k)i+1

3．2．2 Newton同伦具体算法

第4章 数值计算

第5章 总结

参考文献

附录 本文中主要的MATLAB代码

致谢