一种求解具有非线性边界条件的椭圆型偏微分方程组多解问题的数值方法

摘要

在工程技术领域内，对于许多力学问题和场问题，人们已经找到了它们应遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的边界条件。椭圆型偏微分方程边值问题主要应用于流体力学和固体力学中，许多文献都对椭圆型偏微分方程的特解问题给出了分析和数值计算，例如有限元方法(FEM)，边界积分方程法(BIE)和边界元方法(BEM)。在物理学上，人们发现了非线性方程组的多个不稳定解，在数学上，也都证明了这些解的存在和它们的结构，但是至今为止，人们对这种解的认识还是很局限的。文献中许多对于多解问题的研究结果都是针对那些在偏微分方程中存在非线性项的情况，而我们要解决的这一类方程都是具有非线性的边界条件的，至今为止，还没有这方面的相关的数值结果。本文主要研究了利用LMM-BEM算法和LMOM算法来求解具有非线性边界条件的二元椭圆型偏微分方程组的多解问题，LMM-BEM算法是结合极小极大方法和边界元方法，定义了一个子空间，让所有的数值计算和分析都可以仅仅利用方程在边界上得信息来有效的得到；LMOM算法是为了解决合作型椭圆型偏微分方程组的共存解问题的。最后，本文利用这样两种算法对不同边界条件、不同形式的椭圆型偏微分方程组都尝试了求解。