病态线性方程组解法研究

摘要

病态线性方程组解法的研究是数值计算研究的一个重要课题.本文在分析了病态线性方程组的特点和成因的基础上,对一些传统的算法进行了改进,给出了加权迭代改善法和PSD-PCG法.其改进效果不仅在理论上得到了证明,且同时由几个典型的数值试验得到了验证.本文第一章介绍了求解病态线性方程组的算法类型以及评价标准,并简单介绍了几种有效的解法.第二章讨论了判别方程组性态的意义和方法,同时给出了一种估计条件数的实用方案.第三章在介绍了预处理方法的基本思想后,给出了两种典型的预处理算法.第四章介绍了共轭梯度(CG)法,及其与预处理方法的结合.本章提出的PSD-PCG法是解对称正定的稀疏病态线性方程组的有效算法.第五章介绍了实际工程中的一些病态问题,以及应注意的事项,以达到防患于未然的效果.最后指出了研究病态方程组的趋势和主要发展方向.

目录

文摘

英文文摘

第一章线性病态方程组解法的类型和介绍

§1.1线性方程组解法的类型和评价标准

§1.2目前病态方程组的几种解法

§1.3研究病态方程组的意义和发展方向

第二章判别方程组性态的意义和方法

§2.1病态问题、数值稳定性与避免误差危害

§2.2求解条件数的方法

第三章预处理方法的介绍

§3.1预处理的基本思想

§3.2条件预优共轭梯度法

§3.3不完全的Cholesky分解法

§3.4预处理方法的发展

第四章共轭梯度(CG)法及与预处理方法的结合

§4.1引言

§4.2共轭梯度法(CG法)

§4.3共轭梯度法的三项形式

§4.4共轭梯度加速法

§4.5预处理共轭梯度法

§4.6数值试验

第五章实际工程中方程组的病态问题

§5.1结构模型化中的一种病态问题

§5.2有限元分析中的一种病态问题

§5.3一个小算例

§5.4实际工程中须注意之事项

第六章结论

§6.1本文结论

§6.2后续展望

参考文献

致谢

附录