偏微分方程在数字图像处理中的应用

摘要

随着时代的发展，数字图像的存在价值凸显得越来越明显。不管是日常生活还是科学研宄，数字图像的出现都给我们的生活带来了极大的便利，甚至在改变如今的生活方式。然而如何得到高质量的数字图像是人们面临的一个重要问题。为了改善数字图像普遍质量不高的现状，这方面的研宄学者和专家根据原始图像所出现问题的特点，总结出概率统计、小波分析和偏微分方程等三种方式来提高数字图像的质量。本文主要是从偏微分方程角度出发，来研宄数字图像处理中的问题，主要集中在降噪、修复和去模糊三个层面。根据数字图像在计算机中的存储方式，本文将从灰色图像和彩色图像两个大的方面分别研宄如何利用偏微分方程的数值解为数字图像降噪、修复和去模糊。数字图像在数学上可以用二元标量函数和向量函数表示，并且数字图像的处理过程可以看作是寻找特定条件下的二元函数问题。从数学本质上讲，这是一个带有限制条件的二元泛函极值问题。可以这样求解它：首先根据拉格朗日乘子法构造新的目标泛函，将原始二元变分问题无条件化；其次，根据变分原理，得到该问题的解所满足的欧拉-拉格朗日方程，然后利用投影梯度方法构造相应的梯度流方程，并从理论上证明：通过长时间演化，该梯度流方程的解就收敛到原始变分问题的解。最后采用有限差分法来离散该梯度流方程，从而得到该梯度流方程的稳态解，并将得到的稳态解作为图像处理的最终结果。由于变分问题中泛函选择的多样性，本文主要介绍两种不同的模型一一热传导模型和全变差模型，同时简单介绍全变差模型的变形— CIXD模型，最终总结出一般的理论模型。它们为进一步更深层次的图像处理提供了理论支持。通过具体的数值实例分析，我们指出所提出的模型在数字图像处理的结果与理论分析是大致吻合的，说明偏微分方程方法在数字图像降噪、修复和去模糊等方面能起到了一定的处理效果，能有效地改善特定数字图像质量不高的现状。

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第1章 引言

第2章 预备知识

2.1 常见的图像处理问题

2 .1 .1图像去噪

2 .1 .2图像修复

2 .1 .3图像去模糊

2 .2 常见的图像处理方法

2 .2 .1图像的表示

2 .2 .2图像的处理方法

第3章 数字图像去噪

3.1 灰色图像去噪

3 .1 .1偏微分方程模型的建立

3 .1 .2模型的筒化与求解

3 .1 .3模型的数值求解方法

3 .1 .4模型的数值求解结果与分析

3 .2 彩色图像去噪

3 .2 .1偏微分方程模型的建立

3 .2 .2模型的筒化与求解

3.2.3模型的数值求解方法

3.2.4模型的数值求解结果与分析

3 .3 偏微分方程模型推广

第4章 数字图像修复

4 .1 灰色图像修复

4 .1 .1偏微分方程模型的提出与理论求解

4 .1 .2模型的数值求解方法

4 .1 .3模型的数值求解结果与分析

4 .2 彩色图像修复

4 .2 .1偏微分方程模型的提出与理论求解

4 .2 .2模型的数值求解方法

4 .2 .3模型的数值求解结果与分析

4 .3 数字图像修复的模型的改进

4.3.1 CDD 模型

4.3.2 C D D模型的数值结果和分析

4 .4 模型推广

第5章 数字图像去模糊

5.1 图像去模糊的原理

5 .2 图像去模糊的方法

5 .3模型的数值求解结果与分析

5 .4偏微分方程模型推广

结论

参考文献

附录

致谢

攻读学位期间发表的学术论文和研究成果