含参系统及共振系统的最简规范形的研究

摘要

规范形理论是简化常微分方程的一种十分有效的方法，在研究非线性动力系统在平衡点附近的分叉和稳定性等非线性动力学行为方面扮演着重要的角色。它为非线性动力学问题的求解，开辟了一条新的道路。 本文简述了几种计算常微分方程规范形方法的特点及规范形理论的推广应用。对L-S方法、中心流形理论与规范形理论几种化简常微分方程的方法进行比较，对已有的中心流形的Mathematica电算程序进行优化，实现了程序简洁化、通用化和高效化。 将参数视为状态变量，在不截断的情况下，研究了非共振含参双Hopf分叉系统的最简规范形。在采用非线性恒同变换时引入了变参数尺度变换函数，借助于计算机代数语言Mathematica，推导出一般情况下含有参数的非共振双Hopf分叉系统的最简规范形的前5阶系数的表达式，并根据其中的规律推导出该系统高阶最简规范形的通式。 基于李代数方法，对几种常见的共振双Hopf分叉系统的规范形进行了详细分析，得出了共振双Hopf分叉系统的最简规范形系数和非线性恒同变换系数与原动力系统系数之间关系的直接表达式。并利用符号运算语言Mathematica编制出了一套通用的程序，该程序不仅适用于计算各种常见的共振双Hopf分叉系统的最简规范形，同样可以用于计算非共振情况下双Hopf分叉系统的最简规范形。

目录

文摘

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第一章绪论

引言

1.1规范形理论研究的历史及现状

1.1.1传统的规范形的研究

1.1.2最简规范形的研究

1.1.3计算机代数系统在规范形理论研究方面的应用

1.2研究规范形的基本方法及规范形理论的推广

1.3本文工作安排

第二章L-S方法、中心流形理论与规范形理论

2.1 L-S方法、中心流形理论与规范形理论

2.2中心流形理论基本思想

2.3计算中心流形电算程序简介及算例

2.4本章小结

第三章含参非共振双Hopf分叉系统的最简规范形

引言

3.1基本公式推导

3.2含参双Hopf分叉系统最简规范形系数的求解

3.3计算含参双Hopf分叉系统最简规范形的算例

3.4本章小结

附录：计算含参Hopf分叉系统最简规范形的流程图

第四章基于李算子方法计算共振双Hopf分叉系统最简规范形

引言

4.1基本公式

4.2共振双Hopf分叉系统规范形

4.3共振双Hopf分叉系统最简规范形系数求解

4.4共振双Hopf分叉系统最简规范形具体算例

4.5本章小结

第五章全文总结及前景展望

参考文献

发表论文和科研情况说明

附录1

附录2

致 谢