关于流形上椭圆算子的两个问题的研究

摘要

在本文中，我们主要研究椭圆算子理论中的两个问题：
　　 第一个问题是：怎样利用拟微分算子的象征运算得到扇形投影算子关于原算子的连续依赖性？具体来说，在一个闭流形上，假设A是一个具有两条极小增长射线的正阶椭圆拟微分算子，考虑关于A的扇形投影算子。我们证明：如果给予拟微分算子空间适当的拓扑，那么此扇形投影算子将连续依赖于A。作为此结果的应用，考虑带边流形上一族连续的一阶椭圆微分算子。假设这族算子具有弱唯一延拓性，则我们可以得到关于这族算子的Calderón投影是连续变化的。从而相关的Cauchy数据(data)空间也是连续变化的。
　　 第二个问题是在无穷柱面上证明“Fredholm指标=谱流”的一个推广形式。具体地，假设E是一个闭流形上的Hermitian向量丛，{A(t)}t∈R是E上一族连续的一阶非自伴椭圆微分算子。我们证明在很自然的条件下，算子d/dt-A(t)是Fredholm的，并且其指标等于{A(t)}t∈R的谱流。