间断有限元区域分解格式构造及反应扩散问题BDDC条件数估计

摘要

区域分解技术是微分方程数值解专业的一个比较有前途的方向,它主要的思想是将大问题分块局部化,然后通过分而治之的方式求解原问题,由于它比较高的并行性,对于大规模问题的求解特别是时间依赖问题有着比较广的适用性.
　　区域分解技术一般分为差分方法与有限元方法,二者各有优点,对于有限元方法,它以良好的区域适应性与比较完善的理论基础得到微分方程数值解方向的认同,差分方法则以其快速直观的求解方式而倍受青睐.本文着重考虑有限元方法.
　　对于有限元方法,连续有限元方法的区域分解理论比较成熟,算法也比较成功,相比于连续元,间断有限元虽然也由来已久,而且间断有限元在处理对流占优问题,自适应问题,鞍点问题,双曲问题方面有着比较独特的优势,但是关于间断元下的区域分解技术算法与理论方面成果都非常少,相关的文献也是有限[14]-[19],而且基本上算法实现与理论分析都是在子区域与子区域之间使用间断元格式,子区域内部使用连续元格式.
　　本文在[6],[7]的基础上,通过分析连续元下区域分解的格式构造的思想,给出区域分解的本质与块高斯消去法之间的联系,进而给出给出间断有限元二阶自共轭椭圆问题的格式构造方法与思想,并以此为基础导出对流扩散反应问题的间断元区域分解格式与时间依赖问题的相关格式.最后通过使用Fenics[20]程序包来实现有关算法.
　　此外本文还在[7][21],[22]基础上给出了反应扩散方程模型问题应用BDDC预处理得到的条件数估计.

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第一章 前言

第一节 间断元,时间依赖问题,区域分解参考与发展近况

第二节 论文主要工作

第二章 块高斯消去法与区域分解

第一节 连续元情况

第二节 间断元情况

2.2.1 间断有限元的符号说明

2.2.2 间断有限元的混合形式与原形式

2.2.3 间断元的区域分解构造:椭圆方程

第三节 稳态的对流扩散反应方程

第四节 时间依赖问题

第三章 反应扩散问题的BDDC预处理条件数估计

第四章 数值实验

第一节 间断元基础

4.1.1 非匹配网格

4.1.2 流形式与原形式比较

第二节 稳态问题间断元区域分解

4.2.1 二阶椭圆问题

4.2.2 对流扩散反应问题

第三节 时间依赖问题间断元区域分解

4.3.1 抛物问题

4.3.2 时间依赖对流扩散反应方程

4.3.3 二维伯格方程

第四节 本论文的不足与将来发展展望

参考文献

致谢

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