方程求解中符号化过程的中外辨析

摘要

方程理论是初等代数学中的重要组成部分，也是中学数学教育中的重点内容，在中国传统数学史和中外交流史上都占有重要地位。在中国古代方程求解问题上，前辈数学史家已经对中国古籍原典进行了详细校勘与研究，出版了众多数学史著作和研究性论文，但是笔者发现鲜有文献在方程求解过程中，从符号演变的角度对方程进行讨论。数学符号的出现是数学诞生和发展的标志，标准化的统一的数学符号的使用，非常便于世界上不同国家、不同地区、不同民族的交流。
　　符号是代数学发展的基础，代数符号的分类有多种，德国数学史家内塞尔曼将代数符号的引入和发展分为三个阶段:文词代数、缩词代数（或半符号代数）、符号代数。在这三个阶段，中外方程求解各俱特色，但与之相应的代数符号发展并不平衡，各有侧重。在数学的发展史上，无论中外，文词代数都经历了相当长的时期。缩词代数经历的时间最短，以古希腊丢番图的符号和中国宋元时期的半符号代数为代表。法国韦达和笛卡尔的符号代数，标志了代数符号发展的最高阶段。中世纪的中国，对缩词代数阶段贡献最大;近代欧洲，对符号代数的建立功不可没。
　　笔者以公元3世纪到17世纪为时间跨度，采用内塞尔曼代数符号的分类方式，以方程求解中符号的演变为研究主线，主要做了如下的分析与研究:
　　第一，“方程”的释义与“符号代数”的分类。对“方程”一词的起源与定义做了古今释义，指出古今词意的不同;采用内塞尔曼的代数符号的分类理论，分析了文词代数、缩词代数（或半符号代数）、符号代数的特点。
　　第二，中国对缩词代数的贡献，分两个阶段梳理了“文词代数”阶段和“缩词代数”阶段数学家们的工作。公元3世纪前后，是中国古代数学发展的高峰。经过三国时期的刘徽、赵爽，宋元时期的贾宪、刘益、秦九韶的工作，方程求解发展到能够解高次方程的数值解，李冶的“天元术”、朱世杰的“四元术”，使方程理论有了新的突破，达到中国古代数学发展的高峰。刘徽、赵爽、贾宪、刘益在求解方程中，使用“文词代数”，秦九韶的方程求解中有“缩词代数”的萌芽，完整的“缩词代数”体系以李冶的“天元术”为代表。从刘徽到李冶的方程求解历史，实际上是中国从文词代数到半符号代数的演变历史，经历了一千多年，中国达到了缩词代数的高峰，“天元术”对日本的“点窜术”有直接影响。
　　第三，欧洲对符号代数的贡献，分两个阶段梳理了缩词代数阶段丢番图的工作和符号代数阶段韦达和笛卡尔的工作。不同于国内传统数学追求方程数值解，国外以求方程根式解为目标，本研究以一元二次方程、一元三次和四次的求解为线索，分析了符号的演变伴随着方程求解的历史发展过程。主要梳理了公元3世纪丢番图缩词代数时期的缩词符号。但是，缩词符号的思想并没有延续。公元7世纪印度数学家婆罗摩笈多、公元9世纪阿拉伯数学家花拉子米在方程求解中使用的都是“文词代数”。17世纪的法国数学家建立了符号代数阶段完备的代数符号理论，韦达的工作标志了符号代数建立时期，法国数学家笛卡尔的工作代表了符号代数成熟时期。
　　第四，中外比较中的半符号化代数“天元术”的特点与不足。宋元之后，未能完成从半符号代数到符号代数的转变，中国方程理论研究走向衰落。17世纪以后，欧洲符号代数的引入，使得近代代数蓬勃发展。从以上两条中外方程符号演变的主线中，从以下两个角度，进行中外比较分析。一是将国内外的半符号代数时期进行对比，即“天元术”和丢番图缩词代数的比较，二是将国内半符号代数时期与国外符号代数建立时期进行对比，即“天元术”和韦达符号代数的比较，从中分析中国方程符号的特点与不足。
　　结语，笔者思考将方程符号历史引入中学方程教学，启发学生从符号角度认识方程，促进学生对数学的理解。

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 研究的背景

1．2 文献综述

1．3 研究的思路及方法

1．4 研究意义

第二章 国内方程求解中符号的历史演变

2．1 “方程”的释义与“符号代数’’的分类

2．1．1 “方程”的释义

2．1．2 “符号代数”的分类

2．2 国内方程求解的文词代数阶段

2．2．1 刘徽的“方程术”和“开方术”

2．2．2 赵爽的二次方程求根公式

2．2．3 高次方程的数值解法

2．3 国内方程求解的半符号代数阶段

2．3．1 李冶的“天元术”

2．3．2 朱世杰的“四元术”

2．4 小结

第三章 国外方程求解中符号的历史演变

3．1 国外方程求解的缩词代数时期

3．1．1 丢番图的工作

3．1．2 婆罗摩笈多和花拉子米的工作

3．2 国外方程求解中的符号代数时期

3．2．1 三四次方程的求解

3．2．2 韦达的工作

3．2．3 笛卡尔的工作

3．3 方程中符号的演变历史

3．3．1 根号、乘幂和复数符号

3．3．2 运算符号的历史演变

3．3．3 等号“=”的历史演变

第四章 方程求解中符号演变的中外比较

4．1 中国的半符号代数

4．1．1 中国筹算与算筹

4．1．2 李冶使用的符号

4．2．1 丢番图使用的符号

4．2．2 “天元术”与丢番图缩词代数的比较

4．3 国内“天元术”与韦达符号代数的比较

4．3．1 研究起源和时间上的对比

4．3．2 研究成果及后续发展的对比

4．4 中外比较中的半符号化代数“天元术”的特点与不足

第五章 结语

参考文献

致谢

在校期间研究成果