块迭代解法在偏微分方程数值解中的应用

摘要

现代科学，技术，工程中的许多问题都会归结为偏微分方程定解问题，这些定解问题只有很少一部分可以给出解析解，而绝大多数都必须通过近似方法进行数值求解。数值求解偏微分方程定解问题可以分为两部分，第一部分是方程的离散化处理，第二部分就是线性代数方程组的求解。对偏微分方程的数值求解既依赖于离散方法，又同时依赖于线性代数方程组的求解，把两者结合到一起，是我们的出发点。由于离散化处理后形成的线性代数方程组的系数矩阵具有很好的块结构，因此，本文着重讨论了块迭代解法在偏微分方程数值解中的一些应用。 文章从偏微分方程定解问题的离散化出发，介绍了椭圆型方程边值问题离散化的常用方法，并在第二章改进了定常和非定常对流扩散方程的一类指数型差分格式，为解决此类方程提供了一种有效的差分方法。 在第三章中详细的介绍了解线性代数方程组的块基本迭代方法。在解决Laplace方程Dirichlet边值问题上，文章为确定块基本迭代方法的谱半径和SOR方法最优松弛因子提供了一个有效的方法，并推导了九点差分格式下的块基本迭代方法的谱半径和SOR方法最优松弛因子。 在第四章，文章引入了PE(拟消元)方法及其收敛性相关内容，特别是在M矩阵和H矩阵下的收敛性。基于二次PE<,k>方法的基础之上，文章提出了二次PE<,k>方法的外推迭代一二次EPE<,k>方法，并讨论了其在对称正定和可正定化条件下的收敛性。同时，文章对解决Laplace方程Dirichlet边值问题紧凑差分格式下的二次PE<,k>方法最优参数选取提供了一个实验性的结论。 结合块ILU预条件的Krylov子空间方法是目前解决有限差分方法离散偏微分方程定解问题下的线性代数方程组的一种很广泛的方法，在为对称块三对角M矩阵和非对称块三对角H矩阵分别引入了几个预条件之后，文章对对称块五对角M矩阵提出了类似的不完全分解预条件，并用实验验证它的有效性。 本文把块基本迭代方法、PE方法和块预条件的Krylov子空间方法在文章中通过大量数值实验加以比较，相应的结论将在第六章中给出。

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第一章绪论

1.1偏微分方程定解问题

1.2有限差分方法

1.3基本迭代法

1.4PE方法和块ILU预条件

第二章偏微分方程定解问题的离散化

2.1椭圆型方程边值问题的离散化

2.2对流扩散方程定解问题的离散化

2.2.1定常对流扩散方程的指数型差分格式

2.2.2非定常对流扩散方程的指数型差分格式

2.3M矩阵和H矩阵简介

2.4小结

第三章块基本迭代法

3.1块基本迭代法的概念

3.2迭代矩阵的谱分析

3.3椭圆方程Dirichlet边值问题的块迭代方法

3.3.1五点差分格式离散后的迭代矩阵谱分析

3.3.2九点差分格式离散后的迭代矩阵谱分析

3.4小结

第四章PE(拟消元)方法及其外推迭代

4.1PE方法简介

4.2PE方法的收敛性

4.2.1二次PE方法和二次PEk法的收敛性

4.2.2新型二次PEk方法的收敛性

4.3PE方法的外推迭代及其收敛性

4.3.1EPEk方法的收敛性

4.3.2二次EPEk方法的收敛性

4.4PE方法实验和最优参数拟合

4.5小结

第五章块ILU预条件的Krylov子空间方法

5.1Krylov子空间方法

5.1.1正交投影方法

5.1.2极小残差方法

5.2块ILU分解和预条件

5.2.1预条件方法简介

5.2.2块ILU分解

5.2.3块M矩阵和H矩阵的并行块不完全分解预条件

5.3小结

第六章结论

致谢

参考文献

攻硕期间取得的研究成果