迭代函数系统应用和偏微分方程多尺度数值方法中的若干问题

摘要

本篇论文包含迭代函数系统应用以及偏微分方程多尺度数值方法两方面几个问题的研究.在迭代函数系统应用方面，包括一类高维分形插值函数的级数表示及H(o)lder指数估计、二次分形插值与多尺度分析的构造和IFS反问题方法中的两类应用问题.在偏微分方程多尺度数值方法方面，包括解偏微分方程的一类高时间精度的显隐-多步-多尺度-Galerkin方法，求解非线性偏微分方程的多层控制迭代及提高逼近解精度的线性化修正方法.全文内容共分为六章. 第一章主要阐述迭代函数系统、分形插值、分形变换和多尺度分析等基本概念及其性质，并对本文所涉及内容的研究现状与存在的问题作概述.同时也介绍了本文的工作及其意义. 第二章利用不变集的多尺度剖分和加细集等概念描述高维分形插值问题，进而给出一类分形插值函数的普适性定义，及其符号级数表示.并利用级数表示式讨论分形插值函数的Lipschitz连续性和H(o)lder指数估计.我们得到的估计结果具有普适性，包含和改进了目前已有的一些结果. 第三章考虑二次分形插值函数，给出积分公式，进而讨论用二次分形插值函数构造多小波尺度函数的方法.并给出了尺度函数正交的条件和构造例子. 第四章首先，以具有广泛应用背景的一类高维反应扩散方程组为模型，基于IFS反问题方法给出其参数反演的公式化算法，包括迭代算子的构造、反演误差分析、反演算法和数值算例等.其次，我们针对图象编码过程中出现粗糙编码的情形，提出一类基于预处理-修正模式的分形图象压缩方法.算法中充分利用了已有的计算结果，为编码过程中适当地加入人工干预，提高压缩效率和改进编码质量提供了契机. 第五章推广Lax-Wendroff多步方法，建立一类新的显式和隐式相结合的多步格式，以此为基础提出求解发展方程的一类显隐-多步-多尺度-Galerkin方法，并通过理论分析和数值实验说明了方法的有效性.与已有的多步方法相比，我们的方案形式简明，具有更好的稳定性. 第六章考虑非线性偏微分方程的多层逼近求解过程，提出一类带精度控制参数的多层迭代方法.通过引入控制参数来控制从初始空间向目标空间逼近求解过程中的求解精度，给出了依赖于控制参数的误差分析，以及一类多层迭代求解过程中迭代次数的选取策略.为改进逼近解的精度，提出一类线性化修正方案，并通过理论分析和数值实验说明方法的有效性.

目录

文摘

英文文摘

第一章绪论

第二章一类高维分形插值函数的级数表示及其H(o)lder指数估计

第三章二次分形插值函数与多小波尺度函数的构造

第四章IFS反问题方法中的两类应用问题

第五章解热传导方程的显隐-多步-Galerkin方法

第六章解非线性偏微分方程的多层控制迭代及线性化修正方法

参考文献

攻读博士学位期间的研究成果

致谢

原创申明