一个自治电路系统的不变代数曲面及其动力学

摘要

动力系统的可积性研宄一直是很多数学家和物理学家关注的热点课题之一。高维空间中微分系统的动力学研宄往往是非常困难的,如果系统有首次积分,在等势面上对原系统降阶,从而达到对系统全局动力学性质的研宄。实际问题中,特别是力学系统往往都有首次积分,如何寻找是很多物理学家和数学家关心的问题之一。
　　本文主要考虑一类数字电路系统的可积性。Llibre和 Valls在文献[9]中研宄了 Muthuswamy-Chua系统[21],它是由一个线性电感器,一个线性电容器和一个非线性记忆电阻器组成的电路导出的自治电路系统,当参数取适当的值时该系统会产生混沌吸引子。为了进一步研宄系统当参数变化时的全局动力学,Llibre和Valls探讨了它的广义有理首次积分,多项式首次积分,达布多项式和达布型首次积分的存在性,但该文对达布多项式的计算是不完整的。本文运用特征曲面法和加权齐次多项式法得到它没有非零余因子达布多项式这个结论。
　　Muthuswamy和 Chua[21]在文中还建议了一类更广泛的系统,本文后半部分选择了基于Muthuswamy-Chua建议的一类系统开展研宄。具体系统如下：（公式略）。文章研宄了该系统的广义有理首次积分,多项式首次积分,达布多项式和达布型首次积分的存在性和个数等问题。

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第一章引言和主要结果陈述

§ 1 .1 研允背景和结果陈述

§ 1 .2 相关定义和证明定理需要的结论

§ 1 .2 .1首次积分在偏微分方程求解中的应用

§ 1 .2 .2达布可积理论基础

第二章定理的证明

§2.1 关于Muthuswamy-Chua系统的补充结论

§ 2 .1 .1系统的达布多项式

§ 2 .1 .2相关结论概述

§ 2 . 2 系 统 （1.1.2) 的可积性

§2.2.1 定理 1.1 的证明

§2.2.2 定理 1.2 的证明

§ 2 .2 .3定 理 1 .3的证明

§ 2 .2 .4定 理 1 .4的证明

§ 2 .2 .5定 理 1 .5的证明

§ 2 .2 .6系统（1.1.2)当 Y= 0,^ = 0 时达布多项式存在的一些必要条件

第三章今后工作的展望

参考文献

第五章附录

致谢