关于算子矩阵谱配置及方根与范数不等式相关问题研究

摘要

算子理论产生于20世纪初,由于其在数学和其它科学中的广泛应用,在20世纪的前三十年就得到了很大的发展.一个算子矩阵是一个以算子为元素的矩阵,这些算子都是相应Hilbert空间上的有界线性算子.而一个缺项算子矩阵就是一个一些元素是已知的,其余元素都是未知的的算子矩阵.算子补问题是对一个缺项算子矩阵去讨论所缺的项对整个算子矩阵的影响.该文以系统理论中引出的可控算子对及相容算子对两个概念的基础上研究算子补问题中的谱配置问题,同时利用算子矩阵研究算子n次方根的唯一性问题.由于算子范数不等式或等式蕴涵着算子自身的诸多性质,所以针对算子范数等式与不等式的研究由来已久,在该文的最后我们对两类特殊的算子范数不等式进行了研究.该文共分四章;第一章主要介绍了该文中要用到的一些符号,定义及其一些比较著名的或已知的一些定理等.首先我们介绍了一些符号的表示意义,接着引入了数值域,凸集,凸集端点,极大部分等距等概念,而后给出一些广泛熟知的定理如Krein-Milman定理,极分解定理,谱定理等.第二章我们在可控算子对与相容算子对这两个概念基础上对算子补问题进行了研究.第三章对有限维空间上算子平方根的存在性及唯一性进行分析,更进一步的,我们就无限维空间上的有界线性算子n次方根进行了研究,分别对算子的谱与数值域进行了限制得出其n次方根的唯一性,覆盖了Charles R.Johnson,Kazuyoshi Okubo等的结论.第四章我们对集合{B∈A:存在一个α>0使得‖A+αB‖=‖A-αB‖=‖A‖}进行刻画,并证出‖A+B‖+‖A-B‖=2‖A‖当且仅当‖A+B‖‖A-B‖∈W(A*A-B*B).同时我们用算子范数不等式来定义算子的正交性,它是对Hilbert空间向量正交概念的延拓.

目录

文摘

英文文摘

前言

第一章预备知识

§1.1基本概念

§1.2预备定理

第二章算子矩阵谱配置问题

§2.1引言

§2.2可控算子对

§2.3相容算子对

第三章算子n次方根

§3.1引言

§3.2算子平方根的唯一性

§3.3算子n次方根的唯一性

第四章范数不等式

§4.1引言

§4.2一类特殊范数等式

§4.3算子正交性的刻画

总结

致谢

参考文献

攻读硕士学位期间的研究成果