几类不同分形集的维数和一类非对称Cantor集的上下密度

摘要

本博士论文由四部分组成,第一部分引入一些基本概念、介绍我们所研究的问题背景以及前人的研究工作;第二部分研究一类由组频率诱导的莫朗(Moran)集子集的分形维数;第三部分考虑一类Cantor函数不可微点的维数问题;第四部分具体给出一类非对称Cantor集在每一点的上下密度并给出证明.第二章我们研究了一类由组频率诱导的莫朗集子集的分形维数.一般情况下,为证明一给定集合的Hausdorff和Packing维数,需首先猜测其维数公式,这通常较为困难.但对这类由组频率诱导的特定子集,我们直接给出并证明其Hausdorff和Packing维数公式.结果表明,该类集合为正则集(即Hausdorff维数等于Packing维数),且其Hausdorff和Packing维数可套用公式计算而无需猜测.第三章我们研究了一类Cantor函数不可微点的维数问题.目前所知结果均要求对任意i,pi＞a_i(Pi为一给定概率向量的第i分量,ai为产生Cantor集的迭代函数系统的第i个函数的压缩比).然而,若存在i,使得P_i＜ai,已知文献中的办法将不再适用,这时猜测并证明该目标集的分形维数比较困难.我们在具体分析了Cantor函数不可微点的结构后,巧妙地联系起Olsen在文[43,45]中关于编码组频率发散点的结果,解决了该问题.第四章我们研究了一类非对称Cantor集在每一点的上下密度.丰德军、华苏和文志英等在[16]中给出一类对称Cantor集的具体上下密度.而对非对称Cantor集,已知参考文献未有结果.

目录

摘要

Abstract

主要符号对照表

第一章 绪论

1.1 关于Hausdorff与Packing维数

1.2 莫朗分形

1.3 Cantor集的编码及Cantor测度

1.4 本文的工作及前人的研究

第二章 一类由组频率诱导的莫朗集子集的分形维数

2.1 问题引入及主要结果

2.2 莫朗分形子集Packing维数的等价定义

2.3 主要定理证明

第三章 一类Cantor函数不可微点的维数问题

3.1 问题引入及主要结果

3.2 Cantor函数不可微点的结构

3.3 主要结果证明

第四章 一类非对称Cantor集的上下密度

4.1 问题引入及主要结果

4.2 主要定理证明

参考文献

攻读博士学位期间的研究成果及发表的论文

致谢