Minkowski空间及其二次曲面上的完全Poncelet定理

摘要

Poncelet定理是几何学中一条著名的定理，该定理主要涉及二维空间中的直线在该空间中一个椭圆内发生的连续反射以及这些反射的直线段所具有的特殊性质，特别是当该直线在椭圆内反射了p次之后形成一个封闭的多边形P时，我们就能得到2维情况下相应的Poncelet定理，而此时的多边形P就被称为Poncelet多边形。 Poncelet定理所表述的这些内容使我们可以将它与以下实际的物理问题相联系：一个粒子在某个给定的空间中做自由运动，并在该空间中的某个二次曲面上发生弹性碰撞。此时，我们可以将做自由运动的粒子看作空间中的“直线”，而将粒子在二次曲面的边界上的弹性碰撞看作是直线在二次曲面上的反射。这种粒子在空间内做自由运动而在一定的边界上发生弹性碰撞的模型一般就被称为弹子球系统。Poncelet定理的内容与弹子球模型之间具有高度相似性，这就使得我们可以利用Poncelet定理所给出的结果对在给定空间中的自由粒子的运动规律给出定量的描述。我们还可以将Poncelet定理推广到高维空间上，而且在一定的极限情况下我们还能得到约束在二次曲面上运动的自由粒子的Poncelet定理。 由于近年来超弦理论和宇宙学的迅速发展，AdS空间和dS空间中的各种动力学性质的研究引起了人们广泛的兴趣，而AdS空间和dS空间在一定情况下都可以看作是更高维Minkowski空间上的二次曲面。这样我们就可以通过高维空间上的Poncelet定理分析自由粒子在这些空间中运动时相应的动力学问题，从而对这些自由粒子的运动规律给出一定的描述。 本论文的主要工作在于：从三个不同的角度出发，讨论了自由粒子在Minkowski空间中的超平面上的反射，得到了相应的反射定理，并发现该定义与射影几何下反射的定义是一致的，由此我们得到了Minkowski空间中的Poncelet定理。之后我们再将其用到高维Minkowski空间上的某些特殊二次曲面上，由此得到了在这些空间中的完全Poncelet定理，而这些特殊的二次曲面中就包括dS空间和AdS空间。 此外，本文的附录还介绍以了本人在量子信息方面的一些工作。

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章绪论

1.1 Poncelet定理的研究背景

1.2超弦理论和宇宙学的需求

1.3先前的主要工作

1.4本文的主要工作

1.5论文的结构

第二章2维与3维空间中的Poncelct定理

2.1 2维弹子球模型

2.2 2维椭圆弹子球系统的哈密顿-雅克比方程

2.3 3维椭圆弹子球系统的哈密顿-雅克比方程

2.4 2维及高维情况下的Poncelet定理

2.4.1 2维情况下Poncelet定理的几何证明

2.4.2高维情况下的Poncelet定理

第三章：Minkowski空间中超平面上的反射

3.1从作用量原理出发定义反射

3.2 3维欧式空间中的反射到4维Minkowski空间的推广

3.3通过保长的线性变换定义超平面上的反射

3.4调和线束和调和点列

第四章：弹子球在共焦二次超曲面上的反射

4.1二次超曲面的极点与极面

4.2共焦二次超曲面上的反射

4.2.1极点，极面和单反射定理

4.2.2双反射定理

第五章Minkowski dS和AdS空间中的完全Poncet定理

5.1 Minkowski空间上的完全Poncelet定理

5.2二次曲面上的完全Poncelet定理

5.3 dS空间和AdS空间中的完全Poncelet定理

结论

参考文献

附录

攻读硕士学位期间取得的科研成果

致谢