非线性对流扩散方程的两重网格算法

摘要

对流扩散方程是一类基本的运动方程，它可以用来描述水中和大气中污染物质的分布、流体流动和流体中的传热等众多物理现象，因此研究对流扩散方程的数值解法，寻找一种快速、稳定、实用的数值算法，有着重要的理论和实际意义。 本文将特征线方法、有限元方法和混合有限元方法相结合，构造了求解非线性特对流占优扩散方程的两重网格算法。这些算法的特点是仅在粗网格上进行非线性问题的计算，而在所需要求解的细网格上只进行线性问题的计算。这样既消除了因对流占优引起的数值震荡问题，又极大的提高了非线性对流扩散问题的计算效率。同时还从理论上分析了这些算法的收敛性，并通过具体例子进行了数值试验，从两方面说明了这些算法的稳定性和高效性。 本文在第一章给出了有关对流扩散方程的一些基本概念和它们所表示的物理意义以及对流扩散方程背景和导出；第二章主要介绍了现有的求解对流扩散方程的几种比较常用的数值方法；在第三章针对某类一维非线性对流扩散方程，构造了特征有限元的两重网格算法或特征混合有限元的两重网格算法，给出收敛性分析以及误差估计；第四章里，对二维非线性对流扩散方程，构造了特征有限元的两重网格算法，并给出了相应的收敛性分析，数值例子。最后用MatLab对给出的数值例子进行编程计算，数值试验结果表明该算法是有效可行的，并且能够极大提高计算的效率。