非线性方程的扩展混合有限元两重网格算法

摘要

本文研究了两种非线性扩散方程的扩展混合有限元两重网格算法，分别为非线性反应扩散方程和非线性对流扩散方程。反应扩散方程描述了水文学、生物地球化学中的许多现象;对流扩散方程在流体力学、热传导学中有很多应用。对于这两种非线性方程，传统的线性化方法和迭代法存在着精度低、收敛速度慢的缺点。为此本文提出了非线性反应扩散方程的扩展混合有限元两重网格算法和非线性对流扩散方程的扩展特征混合有限元两重网格算法，并且在理论上给出了收敛性分析和误差估计，表明这两种方法极大的提高了非线性方程的计算效率。本文的主要内容主要有两个方面:
　　第一，研究了非线性反应扩散方程的扩展混合有限元两重网格算法。先是对扩展混合有限元方法的构造及误差估计，分别对未知函数，未知函数的梯度和伴随向量函数进行估计。再对两重网格算法进行构造及误差分析。
　　第二，研究了非线性对流扩散方程的扩展特征混合有限元两重网格算法。先是对扩展特征混合有限元方法的构造及误差估计，该方法是对对流部分采用特征线方法进行离散，从而消除了数值震荡现象并且保持了稳定性;对扩散部分采用的是扩展混合有限元，分别对未知函数，未知函数的梯度和伴随向量函数进行估计。再对两重网格算法进行构造及误差分析。

目录

声明

摘要

1 绪论

1．1 有关理论的背景

1．1．1 两种非线性方程的背景及应用

1．1．2 一些经典理论的概述

1．2 有限元基本理论

1．2．1 基本定理和不等式

1．2．2 适定性

1．3 混合有限元基本理论

1．3．1 混合变分问题广义解的存在唯一性

1．3．2 混合有限元解的存在性和误差分析

1．4 扩展混合有限元的基本理论

1．4．1 扩展混合有限元格式

1．4．2 扩展混合有限元的解的存在性

1．4．3 扩展混合有限元的收敛性

1．5 本课题的研究内容和研究方案

1．5．1 本课题的研究内容

1．5．2 本课题的研究方案

2 非线性反应扩散方程的扩展混合有限元两重网格算法

2．1 引言

2．2 预备知识

2．3 扩展混合有限元及误差分析

2．4 两重网格算法及误差分析

2．5 本章小结

3 非线性对流扩散方程的扩展特征混合有限元两重网格算法

3．1 引言

3．2 预备知识

3．3 扩展混合有限元的误差分析

3．4 扩展混合有限元的两重网格算法及误差分析

3．5 本章小结

4 总结

4．1 主要研究成果

4．2 有待于进一步研究的问题

致谢

参考文献

附录