带阻尼项SinE-Gordon方程的两重网格算法

摘要

Sine-Gordon方程起初是在研究微分几何中的高斯曲率时提出的，1962年Josephson首次将其应用到超导体中的Josephson结中，以后出现在凝聚态物理、非线性光学等领域中。由于Sine-Gordon方程是一种双曲型方程，因此它成为无穷维动力系统中一个很重要的模型。近年来，关于Sine-Gordon方程的研究主要集中在两方面，一是定性研究解的性态问题，二是利用代数分析法求各类方程的精确解。
　　由于带阻尼项的Sine-Gordon方程具有非线性项，影响其计算效率，而两重网格算法是一种加速收敛提高计算效率的方法，因此本文针对带阻尼项的Sine-Gordon方程，分别构造了一维带阻尼项Sine-Gordon方程的两重网格算法和二维带阻尼项Sine-Gordon方程的两重网格算法，并结合有限元理论和Sobolev空间的基本技巧讨论了两重网格算法的收敛性，给出了误差估计式。本论文主要工作安排如下:
　　首先，针对一维带阻尼项Sine-Gordon方程构造了两重网格算法，讨论了该算法的收敛性，并给出了误差估计式。结果表明，只要适当选取粗细网格的比例，该算法加速收敛，提高了计算效率，并通过数值算例进行了验证。
　　其次，构造了二维带阻尼项Sine-Gordon方程的两重网格算法，并运用Sobolev空间的基本理论讨论了该算法的收敛性，通过数值算例验证了该算法的有效性，结果表明:该算法不仅保持了计算精度，还加快收敛速度，提高了计算效率。
　　最后，结合带阻尼项Sine-Gordon方程两重网格算法的求解过程，指出两重网格算法对于提高计算效率更有效，而且保持了同样的计算精度，是一种值得推广的算法。

目录

声明

摘要

1 绪论

1．1 研究背景及意义

1．1．1 Sine-Gordon方程的发展

1．1．2 研究意义

1．2 两重网格算法概述

1．3 偏微分方程数值解法简介

1．3．1 有限元法

1．3．2 特征有限差分法

1．3．3 特征有限元法

1．3．4 有限体积法

1．3．5 流线扩散法

1．4 本论文的内容安排

2 预备知识

2．1 Sobolev空间基本理论

2．2 Sobolev空间基本性质

2．3 常用不等式

3 一维带阻尼项Sine-Gordon方程的两重网格算法

3．1 引言

3．2 两重网格算法的构造

3．3 收敛性分析

3．3．1 有限元的误差估计

3．3．2 两重网格法的误差估计

3．4 数值算例

4 二维带阻尼项Sine-Gordon方程的两重网格算法

4．1 引言

4．2 两重网格算法的构造

4．3 收敛性分析

4．3．1 有限元的误差估计

4．3．2 两重网格法的误差估计

4．4 数值算例

5 总结

5．1 主要研究成果

5．2 有待于进一步研究的问题

致谢

参考文献

附录