平面梁大挠度非线性问题的完备解与柔顺机构精确建模

摘要

柔顺机构是一种利用构件本身的弹性变形（挠性）获得部分或全部运动的装置，与传统的刚体机构相比，具有精度高、成本低、零件数少等优点，因此受到了学术界和工业界的广泛关注。由于柔顺机构运动常常伴随着复杂的大挠度非线性变形过程，这使柔顺机构的分析和设计变得异常困难。因此，构建高效且精准的平面大挠度梁分析方法，进而实现柔顺机构的精确建模，是柔顺机构研究取得突破性进展的关键。
本文基于Bernoulli-Euler梁理论，给出了平面细长梁在大挠度情况下的通用表达式。通过引入表示拐点个数的变量以及表示弯矩方向的参数，得到了大挠度梁的完备椭圆积分解，该完备解可用来求解任意拐点数的变形以及各种末端载荷情况的细长梁变形形态。给出了纯力载荷、纯弯矩载荷以及力和弯矩同时加载情况下运用完备椭圆积分解进行求解的流程和方法，并可求解出满足给定参数条件的全部解。通过多个典型算例，展示了完备椭圆积分解在对多拐点情况和大角度变形问题以及各种复杂载荷的求解能力。
针对大挠度梁求解中存在的多解问题，介绍了基于最小作用量原理的合理解判断准则，并从基本应力应变关系出发，得到了大挠度梁中应变能的完备椭圆积分解。以固定―导向柔顺机构和圆弧导向柔顺机构为例，运用应变能的完备解和最小作用量原理对机构的实际运动路径进行甄别，相关结果得到了实验的证实。
在完备椭圆积分解的基础上，分析了不同边值条件下斜支梁的屈曲临界力以及后屈曲的变形模式。完备椭圆积分解在各种边值条件下可直接简化得到相应的屈曲临界力计算公式，而这些公式在一定条件下又可进一步退化为经典材料力学中压杆稳定临界载荷的计算公式（即欧拉公式）。通过多个算例展现了斜支梁优美多变的后屈曲变形曲线，并分析了后屈曲状态下斜支梁的载荷位移特性。
运用大挠度梁的完备椭圆积分解，为交叉铰链和LITF铰链建立了精确的分析模型。通过对交叉铰链实例的大转角分析，展现了这类铰链在大转角情况下刚度非线性显著增强的特性，并预测了簧片存在拐点的变形情况，给出了交叉铰链所能承受的最大载荷以及最大转角。非线性有限元的结果验证了完备椭圆积分解对交叉铰链建模的正确性。实验结果证实了完备椭圆积分解模型所预测的交叉铰链的屈曲变形形状。通过对正向LITF铰链和负向LITF铰链两个实例的分析，得到了LITF铰链在不同载荷情况下的最大转角，以及相应的许用载荷范围的预测方法。非线性有限元的分析结果验证了完备椭圆积分解对LITF铰链建模的正确性，给出了利用有限元方法进行LITF铰链屈曲分析的建模方法，并通过实例验证了其有效性。
最后，以部分柔顺四杆机构、连杆曲线导向柔顺机构和三段式全柔顺双稳态机构为例，运用完备椭圆积分解对它们进行了精确的静力学建模研究，相关结果得到了非线性有限元以及机构样机实验的验证。通过运行时间比较我们得知，基于完备椭圆积分解的精确模型计算效率远高于非线性有限元模型。
总得来说，由于缺乏有效的建模方法，柔顺机构设计（特别是详细设计阶段）长期依赖于非线性有限元方法，而非线性有限元方法计算效率低，且常常得到不符合工程实际的解，这较为严重地制约了柔顺机构的发展和工程应用。本论文所给出的完备椭圆积分解，在柔顺机构建模问题上效率和准确性都表现出优异的性能，因此我们希望在不久的将来将它发展成为柔顺机构建模的重要工具之一。