神经传播型方程初边值问题整体解的研究

摘要

生物组织是由细胞构成的，它能够对周围的环境变化给出一定的反应能力.在生物学中通常将生物组织的这一特性称为应激性，并将能引起反映的动因称为刺激.人们在研究神经与肌肉活动过程中首先发现了生物电，随着对生物电的研究进而开始了对神经系统电活动的研究.其中，Hodgkin-Huxley方程和Fitzhugh-Nagumo方程都是我们熟知的描述神经传导的方程.近些年人们对神经传播型方程进行了大量研究，但是对于外部刺激下的Fitzhugh-Nagumo方程以及神经传播和非线性波动混合型方程的研究较少，本文则主要从这两方面进行讨论，它不仅有重要的实际背景，而且在理论上也是很有意义的。
　　 本文首先证明了外部刺激下Fitzhugh-Nagumo神经传导方程：
　　 ut=uxx+f(u)-ν+f1(x，t)，
　　 νt=σu-γν+f2(x，t)在初始条件
　　 u(x，0)=u0(x)，ν(x，0)=ν0(x)。以及非齐次边界条件
　　 u(x，t)∣()Ω=g(t)下整体解的存在唯一性及方程生成的算子半群整体吸引子的存在性.其中σ>0，λ>1/2，α>1/2是已知常数，f(u)是已知实函数，x∈Ω，Ω为R上有界开区间，这里u表征跨膜电压的特性，ν是描述钾激活和钠失活的慢变过程，f1(x，t)，f2(x，t)表示外加刺激电流。
　　 其次，讨论了神经传播和非线性波动混合型方程
　　 utt-△ut=-f(u)ut+g(x，t，u，▽u，ut，▽ut)+▽σ(▽u)
　　 u(x，0)=u0(x)，ut(x，0)=u1(x)
　　 u(x+2D，t)=u(x，t)的周期边值问题(t∈[0，T]，T>0为任意固定的，Ω为R上的有界区间[0，2D])。
　　 本文的具体内容安排如下：
　　 第一、简单介绍了当前国内外神经传播型方程的的研究现状以及本论文的研究内容；
　　 第二、给出本论文涉及的重要定义及引理；
　　 第三、讨论了外刺激下的Fitzhugh-Nagumo神经传导方程在非齐次边界条件下整体解的存在唯一性以及整体吸引子的存在性；
　　 第四、讨论了神经传播和非线性波动混合型方程在周期边界条件下解的存在唯一性；
　　 第五、总结本文内容并对神经传播型方程做了某些展望。