两类两点边值问题正解的个数

摘要

常微分方程边值问题是常微分方程理论研究中最为重要的课题之一．随着科学技术的进步与发展，工程、力学、天文学、经济学、控制论及生物学等自然学科和边缘学科领域中的许多实际问题都可归结为常微分方程的边值问题．我们都知道，寻求微分方程的通解是十分困难的，所以从理论上探讨解的存在性及其性态一直是近年来研究的热点问题．随着常微分方程理论的不断发展，两点边值问题的研究日益活跃．
　　常微分方程两点边值问题是指常微分方程的定解条件依赖于解在区间端点上的取值，具有广泛的实际意义．在物理学、生命科学、控制论等理论和实际问题中都有广泛的应用．比如，Sturm-Liouville问题，弦振动问题，磁性流体力学问题等．
　　常微分方程两点边值问题的研究近年来获得了很大程度的发展，目前已经得到了很多不同条件下解的存在性结果．例如，国内的程建刚，刘兆理，国外的Idris Addou，B.P.Rynne等都已经做了很多研究工作．本论文在前人的基础上，对两类具有广泛实际意义的两点边值问题做了进一步的研究．本论文共分为两章．
　　第一章研究来源于古典的Monge-Ampere方程的边值问题(此处公式省略).其中B一{x∈Rn：lxl<1）是Rn内的单位球，且D2u=（≤为）是u的Hessian矩阵．古典的Monge-Ampere方程在应用数学的各个方面有很重要的作用，例如，微分几何，变分法和优化问题的应用等等．
　　如果考虑该方程的边值问题(I)的对称径向解，令u(r)一v(lxl)，r一lxl>O，可以将边值问题(I)的狄氏问题转化成常微分方程边值问题（此处公式省略）其中n≥1是空间的维数，且当u>0时，f(u)≥O．
　　早在1986年，在文献中，P.L.Lions讨论边值问题(I)，给出了当，(u)一un时，特征值Ai的存在唯一性．特别地，Ai>O，其对应的特征函数ψi为负凸函数，并且其他特征函数是ψi的正倍数．在1988年，在文献[2]中，Kutev利用不动点理论来考虑边值问题(II)，得到了在f(u)一up，O　　在这一章中，受到上面文献的启发，讨论下面的边值问题其中n≥1是空间的维数，且当u>0时，f(u)≥O．
　　早在1986年，在文献中，P.L.Lions讨论边值问题(I)，给出了当，(u)一un时，特征值Ai的存在唯一性．特别地，Ai>O，其对应的特征函数ψi为负凸函数，并且其他特征函数是ψi的正倍数．在1988年，在文献中，Kutev利用不动点理论来考虑边值问题(II)，得到了在f(u)一up，OO为正参数，n≥1，o　　第二章考虑一维平均曲率方程的非线性边值问题（此处公式省略）其中A>O为正参数，n≥1，o　　这类问题具有很强的实际背景，常与化学反应，离子异体的极化，以及天体物理等中的问题联系在一起．这类问题具有很强的实际背景，常与化学反应，离子异体的极化，以及天体物理等中的问题联系在一起．
　　2007年，在文献中，P.Habets和P.Omari考虑边值问题(III)中非线性项，(u)-λup的情形，得出了，如果Ol，则存在λ*>O，使得当λ∈(λ*,+)时,边值问题(III)有一个解，当λ∈(o,λ*)时,边值问题(III)无解．
　　@2010年，在文献中，李伟胜和刘兆理考虑边值问题(III)中非线性项,f(u)=λ(up+uq)的情形，得出了，当p，q分别满足OO，p，q>0，k>o．利用文[12]的方法，讨论当p，q，k满足不同条件时，参数λ对边值问题(III)的正解的影响，得出了相关的结论．该文章对每一个定理都做出了详细的证明.

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