超复数广义J集构造方法研究

摘要

“分形”一词的创始人Ma nd lebro t曾经说过：“事实上，无论是从美学的观点还是从科学的观点，许多人在第一次见到分形时都有新的感受”。自然、复杂、优雅、玄妙的分形图让许多数学家、计算机科学家、艺术家为其着迷。在众多的分形图大家族中，复迭代分形图最能凸显分形的本质和特征。J集是复迭代分形图的典型代表，对其构造方法的研究从一定程度上代表了对分形图、特别是对复迭代分形图相应研究的整体思路。
　　传统的复迭代分形图是基于对复平面上常规复数进行迭代运算而形成的，常规复数包含一个虚部和一个实部，是“二元”的。如果将复数扩展为多于一个虚部，则形成了所谓三元数、四元数等，我们将这样的复数统称为超复数。基于超复数的迭代运算构造复迭代分形图，将涉及到许多新的算法和技术，也会产生一些新颖的、特别是三维的复迭代分形图。本项研究目的是构造出能体现出自相似性、自放射性、精细结构等分形本质特征的三维J集分形图。
　　影响J集分形图的因素很多，不同的超复数定义、不同的绘图方法或者不同色彩方案，都会影响到最后形成的J集分形图的形态和色彩。本文在超复数定义、三维J集分形图绘制方法、色彩方案等方面进行了研究，并实现了计算机模拟。在经过大量研究、实验后，对实验结果进行了初步分析。具体地，论文的研究主要涉及下述几个方面：
　　(1)超复数的定义
　　超复数的不同定义对最后生成的分形图的结构形态都会有一定的影响。本文通过实验性研究，确定了3种不同的三元数定义，相对来说，它们通过复迭代在屏幕可视区域中比较容易产生具有较为明显分形特征的图形，并且不同的三元数之间产生图形的差异性也比较大。
　　(2)分形图的绘制过程
　　分形图的绘制过程包括绘制方法、色彩方案与参与迭代的复数空间。本文基于传统的“逃逸半径法”，做了一定程度的改进。对逃逸“半径”的设定不再是固定不变，而是可以自主设定，并且使绘制方法与色彩方案实现结合。在迭代复数空间的设置方面，本文分别采取基于坐标轴等量划分、基于中心点扩散的复数点选取方法，使生成的三维分形图以立方体型或线型等形状呈现。
　　（3）色彩方案
　　一是利用三元数中的多余“元”来携带色彩信息。基于对常规复数的色彩方案研究，最直观且最易想到的就是此方案。用此“元”来携带色彩因子，为了得到多种多样的图形，对此“元”的初值进行了不同的定义。
　　二是基于主题色的配色方案。所谓“主题色”就是分形图的全部配色由几个指定的颜色来确定。在绘制三维 J集的时候，三个实数部全部径向映射到了立体坐标中。为了使颜色之间的过渡不会太过突兀，本文采用了“颜色渐变算法”来得到具有柔和颜色过渡的J集分形图，并对算法中关键量的选择进行了独特的定义。
　　三是始于基色的配彩方案。所谓基色是指在绘图开始（迭代取初始值）时即随机或由用户指定一种颜色，然后在迭代过程中，通过颜色变换函数，得到第二种、第三种颜色。这种赋色方案对颜色的控制非常简单，并且不同的颜色变换函数，可以产生截然不同的效果，有时其效果可以是“出人意料”的。
　　(4)模拟系统的设计与实现
　　在前面研究的基础上，本研究基于VC++6.0和SQL Server2008软件环境，开发了一个简单的实验系统。实验结果表明，生成的超复数J集基本上满足设计要求。

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中文摘要

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第1章 绪论

1.1 研究背景及意义

1.2 主要研究内容

1.3 创新点与组织结构

第2章 国内外的相关研究

2.1 超复数

2.2 超复数J集

2.3 色彩方案

2.4 本章小结

第3章 J集分形图的绘制

3.1 定义三元数

3.2 绘制方法

3.3 色彩方案

3.4 本章小结

第4章 实验模拟与结果分析

4.1 模拟系统的设计与实现

4.2 运行结果分析

第5章 总结与展望

5.1 工作总结

5.2 工作展望

参考文献

攻读硕士学位期间取得的科研成果

致谢