矩阵方程X+AXA=Q（q＞0）的Hermitian正定解

摘要

求解非线性矩阵方程的问题主要是通过给定方程的参数的性质来得到与参数有关的方程的解．由于在实际中用的最多的是Hcrmitian正定解，所以我们通常讨论的是正定解的情况．这类问题的来源相当广泛，包括控制理论，梯形网络分析，动态规划，统计和椭圆型偏微分方程的差分方法求解等多个领域。关于此类方程的求解通常涉及到三个问题：(1)可解性问题，即方程有解的充分和必要条件；(2)数值求解问题，即有效的数值方法；(3)扰动分析。 本文主要研究非线性矩阵方程 X+A<'*>X<'q>A=Q， q>0的Hcrmitian正定解．其中x是未知矩阵，Q是Hcrmitian正定矩阵，A是n×n复矩阵，q是一个正实数． 首先，对于方程(1)在q>0时的可解性问题，本文得出如下主要结论． 定理1 方程(1)有解的充分必要条件是存在酉矩阵P、T和F，以及对角矩阵Γ>PQP<'*>，Hctmitian矩阵∑>0，使A=P<'*>Γ<'q/2>F∑P其中Γ+∑<'2>=PQP<'*>，此时X=P<'*>ΓP是(1)的解。 定理2 如果方程(1)有一个解X，A为非奇异矩阵，那么1)OX<'-q>A≤Q，则方程(1)在[0，Q]上有一个解．同时，本文还给出了当方程有解时，解的范围： 其次，利用不动点定理给出了，当q>1时的两种不同的迭代方法求矩阵方程的解． 定理5如果矩阵A和数α，β满足以下条件则方程(1)有解，且可由如下迭代序列求得而且，本文还给出了近似解的三个性质： 最后，对方程的最大解做了扰动分析，并得出如下结论：

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章 引言

第二章 矩阵方程的可解性

§2.1矩阵方程的可解性

§2.2矩阵方程解的范围

第三章 矩阵方程的迭代求解

§3.1当q>1时方程的迭代求解

§3.2第一类迭代

§3.3第二类迭代

§3.4矩阵方程解的性质

§3.5矩阵方程的解的扰动分析

参考文献

附录

致谢