倒向随机微分方程、G-期望及其相关领域

摘要

研究倒向随机微分方程(BSDEs)的动机来源于随机最优控制理论.Bismut[9]首先研究了线性的倒向随机微分方程，Pardoux-Peng[82]研究了非线性的倒向随机微分方程:Yt=ξ+(∫Tt)g(s，Ys，Zs)ds-(∫Tt)ZsdWs，t∈[0,T]，(0.0.1)其中W是Brown运动.在Lipschitz条件下，Pardoux-Peng[82]证明了倒向随机微分方程解的存在性和唯一性.自从Pardoux-Peng[82]的开创性工作，倒向随机微分方程理论得到迅速发展.很多研究工作弱化Lipschitz条件和终端条件的可积性（例如，Bahlali[2],Briand-Confortola[21],Briand-Hu[23],Darling-Pardoux[30],ElKaroui-Huang[37],Hamadène[46],Jia[58],Kobylanski[62],Lcpcltier-SanMartin[67],Mao[80]).另一方面，很多学者研究倒向随机微分方程的推广形式，其中包括反射的倒向随机微分方程(例如，ElKaroui-Kapoudjian-Pardoux-Peng-Quenez[38])，正倒向随机微分方程(例如，Hu-Peng[51]，Hu-Yong[52]，Ma-Protter-Yong[78]，Pardoux-Tang[85]，Peng-Wu[102]，Wu[118])，带跳的倒向随机微分方程(例如，Barles-Buckdahn-Pardoux[5]，Situ[108]，Tang-Li[112]，Wu[118]).倒向随机微分方程的应用促进了倒向随机微分方程理论的发展.倒向随机微分方程理论在研究偏微分方程（例如，Buckdahn-Hu[13，14]，Pardoux[81]，Pardoux-Pradcillcs-Rao[84]，Peng[87，91]），数理金融（例如，Chen-Epstein[26],Delbaen-Peng-RosazzaGianin[32],ElKaroui-Peng-Quenez[39],ElKaroui-Quenez[40，41]，Yong[122])，随机控制(例如，Kohlmann-Tang[63]，Kohlmann-Zhou[64]，Peng[87，88，89，91]，Yong-Zhou[123])，随机微分对策（例如，Buckdahn-Cardaliaguet-Quincampoix[11],Buckdahn-Hu-Li[15],Buckdahn-Li[16],Hamadène[45],Hamadène-Lepeltier[47]，Hamadène-Lepeltier-Peng[48]）中已成为强大的工具.
　　 为了研究随机偏微分方程，Pardoux-Peng[83]引入了倒向重随机微分方程(BDS-DEs):Yt=ξ+(∫Tt)f(s，Ys，Zs)ds+(∫Tt)(g)(s，Ys，Zs)dBs-(∫Tt)ZsdWs，t∈[0,T]，其中关于Brown运动W的随机积分是正向的It(o)积分，而关于Brown运动B的随机积分是倒向的It(o)积分，并且B独立于W.
　　 Peng[90]通过倒向随机微分方程引入g-期望.我们考虑一维的BSDE(0.0.1).在特定的条件下，BSDE(0.0.1)有唯一的解(Y,Z)，则我们定义(g)-期望:εg[ξ]:=Y0.g-期望可以看成动态的风险度量(Delbaen-Peng-RosazzaGianin[32]，RosazzaGianin[105]).
　　 受g-期望，风险度量和套期保值问题的启发，Peng[94，95，97，99，100]通过下面的非线性热方程引入G-期望:(e)u/(e)t=G(D2u),(t，x)∈(0,T)×Rn,其中D2u是u的Hessian矩阵，即D2u=（(e)2xixju）ni,j=1和G(A)=1/2supα∈Γtr[ααTA],A=（Aij）ni,j=1∈Sn，Sn是n×n对称矩阵空间，Γ是Rn×n中给定的非空有界闭子集.当Γ是单元素时，G-期望就是经典的线性期望.Peng也引入了G-正态分布和G-Brown运动.G-Brown运动是平稳独立增量的随机过程，它的平方变差过程是一个非确定的过程.此外，Peng[94，95，97，99]建立了关于G-Brown运动的It(o)积分.Peng[95，98，101]给出了非线性期望下的大数定理和中心极限定理.
　　 倒向随机微分方程，g-望和G-期望理论已经成为随机分析和及其在金融中的应用中的强有力的工具.我将用倒向随机微分方程的方法来研究非零和微分对策的Nash均衡问题.
　　 自从Isaacs[53]的开创性工作，微分对策已经被很多学者研究.Fleming-Souganidis[42]研究了零和随机微分对策，并且得到上值函数和下值函数满足动态规划原理，上值函数和下值函数在Isaas条件下是一样的.最近，在Fleming-Souganidis[42]的框架下，Tang-Hou[113]研究了带转换的随机微分对策，Biswas[10]研究了带跳的随机微分对策，推广了Fleming-Souganidis[42]的结果.Buckdahn-Li[16]推广了Fleming-Souganidis[42]的结果，并且利用倒向随机微分方程理论简化了证明.Buckdahn-Hu-Li[15]用倒向随机微分方程的方法研究了带跳的随机微分对策.
　　 本文主要研究非零和随机微分对策的Nash均衡收益，G-期望理论的一些问题，和非Lipschitz条件下的倒向重随机微分方程.
　　 （一）第1章和第2章，研究非线性代价泛函的随机微分对策的Nash均衡收益.
　　 关于确定的微分对策，Konon(e)nko[65]和Tolwinski-Haurie-Lcitmann[114]得到非零和微分对策存在Nash均衡收益.最近，Buckdahn-Cardaliaguet-Rainer[11]将上面的结果推广到非零和随机微分对策.另一方面，自从Case[25]和Friedman[43]，Nash均衡收益应该是Hamilton-Jacobi方程的解.Bessoussan-Fr(e)hse[8]和Mannucci[79]通过抛物偏微分方程光滑解的存在性将上面的结果推广到随机微分对策.Hamadène-Lepeltier-Peng[48]，Hamadène[45]和Lepeltier-Wu-Yu[68]在倒向随机微分方程的框架下得到Nash均衡点.但是上面两种方法都依赖于扩散系数的非退化性.
　　 通过倒向随机微分方程理论，我们研究非零和随机微分对策的Nash均衡收益.两个局中人的代价泛函是通过倒向随机微分方程来定义的.为了给两个局中人对称的工具，我们考虑NAD策略反对NAD策略类型的随机微分对策，其中NAD策略是带延迟的非预期策略.我们首先研究非耦合的非线性代价泛函的非零和随机微分对策的Nash均衡收益，其次我们研究耦合的非线性代价泛函的非零和随机微分对策的Nash均衡收益.
　　 我们得到非零和随机微分对策的Nash均衡收益的刻划性定理和存在性定理.我们的结果推广了Buckdahn-Cardaliaguet-Rainer[11]中的结果:首先，我们通过倒向随机微分方程来定义我们的代价泛函，容许控制依赖于随机微分对策开始的以前事件，因此我们的代价泛函是随机的.其次，因为我们的代价泛函是非线性的，我们不能用Buckdahn-Cardaliaguet-Rainer[11]中的方法.我们利用倒向随机半群和倒向随机微分方程理论.
　　 第1章，得到非耦合的非线性代价泛函的非零和随机微分对策的Nash均衡收益的刻划性定理和存在性定理.
　　 设(Ω，F,P))是经典的Wiener空间，即对于给定T＞0，我们考虑Ω=C0（[0，T];Rd）=｛h:[0，T]→Rd，连续，且满足h(0)=0｝，并赋予上确界范数.设P是(B)(Ω)上的Wiener测度，在此测度下，Bt(ω）=ωt，ω∈Ω，t∈[0，T]，是d维的标准Brown运动.我们用NP表示Ω中所有P-零集的全体.F=｛Ft｝t∈[0，T]，其中Ft=σ｛Bs，s≤t}(∨)NP，t∈[0，T].
　　 设U和V是紧的度量空间，其中U是第一个局中人状态控制空间，V是第二个局中人状态控制空间.相应的容许控制的集合我用分别用u和v表示.我们用u表示所有取值为U的F-循序可测的过程，用v表示所有取值为V的F-循序可测的过程.
　　 对于给定的容许控制u(·)∈u和v(·)∈v，我们考虑下面的控制系统:{dXt,x;u,vs=b（s,Xt,x;u,vs，us，vs）ds+σ(s,Xt,x;u,vs，us，vs)dBs,s∈[t,T]，Xt,x;u,vt=x∈Rn，其中b:[0，T]×Rn×U×V→Rn，σ:[0，T]×Rn×U×V→Rn×d.我们假设，对于任意x∈Rn，b(·，x，·，·)和σ(·，x，·，·)对（t，u，v）是连续的，b（t，·，u，v）和σ（t，·，u，v）是Lipschitz的，一致地关于（t，u，v）∈[0，T]×U×V.
　　 对于任意给定的容许控制u(·)∈u和v(·)∈v，我们考虑下面的倒向随机微分方程，j=1，2，t≤s≤T,jYt,x;u,vs=(Φ)j（Xt,x;u,vT）+(∫Ts)fj(r,Xt,x;u,vr,jYt,x;u,vr,jZt,x;u,vr,ur,vr)dr-(∫Ts)jZt,x;u,vrdBr.第j(j=1,2）个局中人的代价泛函:Jj(t，x;u，v):=jYt,x;u,vt,(t，x)∈[0，T]×Rn.
　　 对于任意NAD策略(α，β)∈At，T×Bt，T，则存在唯一一对容许控制（u，v）∈ut，T×vt，T满足（α（v），β(u))=（u，v）.从而定义Jj(t，x;α，β):=Jj(t，x;u，v)，j=1，2.
　　 我们假设，对于j=1,2和（x，y，z）∈Rn×R×Rd，fj（·，x，y，z，·，·）对（t，u，v）是连续的，(Φ)j(·)andfj(t，·，·，·，u，v)一致地关于（t，u，v）∈[0，T]×U×V是Lipschitz的.另外，我们假设所有的系数都是有界的.
　　 Isaacscondition:对于任意（tx，y，p）∈[0,T]×Rn×R×Rn和A∈Sn，我们有supu∈Uinfv∈V{1/2tr（σσT（t，x，u，v）A）++f1（t，x，y，pTσ(t,x，u，v)，u，v）｝=infv∈Vsupu∈U{1/2tr（σσT（t，x，u，v）A）++f1（t，x，y，pTσ(t,x，u，v)，u，v）},和infu∈Usupv∈V{1/2tr（σσT（t，x，u，v）A）++f2（t，x，y，pTσ（t，x，u，v），u，v）｝=supv∈Vinfu∈U{1/2tr(σσT(t,x，u，v)A）++f2（t，x，y，pTσ(t,x，u，v)，u，v）｝.
　　 在Isaacs条件下，我们有，对于(t，x)∈[0，T]×Rn，W1（t，x）:=esssupα∈At,Tessinfβ∈Bt,TJ1(t，x;α，β)=essinfβ∈Bt,Tesssupα∈At,TJ1(t，x;α，β)，W2(t，x):=essinfα∈At,Tesssupβ∈Bt,TJ2(t,x;α,β)=esssupβ∈Bt,Tessinfα∈At,TJ2(t,x;α,β).
　　 我们给出随机微分对策的Nash均衡收益的定义.
　　 定义一对（e1，e2）∈R2是一个在(t，x)的Nash均衡收益，如果对于任意ε＞0，存在（αε，βε）∈At，T×Bt，T满足，对于所有(α，β)∈At，T×Bt，T，J1(t,x;αε，βε)≥J1（t，x;α，βε）-ε，J2（t，x;αε，βε）≥J2（t，x;αε,β）-ε，P-a.s.，和|E[Jj（t，x;αε，βε）]-ej|≤ε，j=1，2.
　　 我们得到非零和随机微分对策的Nash均衡收益的刻划性定理和存在性定理.
　　 定理1.3.16对于(t，x)∈[0,T]×Rn，在Isaacs条件下，(e1，e2)∈R2是在(t，x)的一个Nash均衡收益当且仅当，对于任意ε＞0，存在（uε，vε）∈ut，T×vt，T满足，对于所有s∈[t,T]和j=1，2，P（jYt,x;uεvεs≥Wj（s，Xt,x;uεvεs）-ε|Ft）≥1-ε,P-a.s.，和|E[Jj(t，x;uε，vε)]-ej|≤ε.
　　 定理1.3.19在Isaacs条件下，存在一个Nash均衡收益.
　　 第2章，得到耦合的非线性代价泛函的非零和随机微分对策的Nash均衡收益的刻划性定理和存在性定理.
　　 在第1章中，我们考虑非线性代价泛函的随机微分对策的Nash均衡收益.但是在第1章中，两个局中人的代价泛函是通过非耦合的倒向随机微分对策来定义的.一个开放性问题是如何研究代价泛函是通过耦合的倒向随机微分方程来定义的随机微分对策的Nash均衡收益.在第2章中，我们研究了此类随机微分对策的Nash均衡收益.
　　 概率空间（Ω，F，P）是Wiener空间(Ω1,F1,P1)和Poisson空间（Ω2，F2,P2）的完备乘积空间.Wiener空间（Ω1，F1，P1）:Ω1=C0(R;Rd）是从R到Rd满足在0时值为0的连续函数的集合，并赋予在紧集上一致收敛生成的拓扑;f1是Ω1上的Borelσ代数，并且由Wiener测度P1完备，在Wiener测度P1下d维过程Bs(ω)=ωs，s∈R+，ω∈Ω1，和B-s(ω)=ω（-s），s∈R+,ω∈Ω1，是独立的d维Brown运动.我们用｛FBs，s≥0｝表示由B生成的自然信息流并且由P1零集完备，即:FBs=σ{Br，r∈（-∞，s]}(∨)NP1，s≥0.
　　 我们给出Poisson空间（Ω2，F2，P2）如下:Ω2=｛ω2=∑j≥0δtj，{tj}j≥0(∈)R｝，F'=σ｛NA:NA（ω2）=ω2(A)，A∈B(R)｝，概率测度P2是定义在（Ω2，F'）上满足｛Nt｝t≥0和｛N-t｝t≥0强度为λ的独立的Poisson过程.我们用F2表示关于P2的F1的完备，(F)Nt=σ{N（-∞,s]:-∞＜s≤t},t≥0，和FNt=(∩s＞t(F)Ns)(∨)NP2，t≥0.此外，令Ω=Ω1×Ω2，F=F1(○×)F2，P=P1(○×)P2，其中F是关于P的完备，F=｛Ft｝t≥0，Ft:=FB,Nt=FBt(○×)FNt(∨)NP，t≥0.
　　 我们考虑下面的随机控制系统:{dXt,x;u,vs=b(s，Xt,x;u,v，s,us，vs)ds+σ(s，Xt,x;u,vs，us，vs)dBs，s∈[t,T]，Xt,x;u,vt=x，对于0≤s≤t≤T,i=1，2，令Nt,is=m（i+Ns-Nt），其中m（j）=1，若j是奇数;m(j)=2，若j是偶数.控制u=｛u｝s∈[t，T]（相应地，v=｛v｝s∈[t,T]）是取值于紧度量空间U(相应地，V)F可料的过程.这种控制的集合我们用ut，T（相应地，vt，T）表示.
　　 我们随机微分对策的代价泛函通过下面的耦合的BSDEs来定义:{-d1(Y)s=(f)1(s，Xt,x;u,vs，1(Y)s，2(Y)s+2(H)s，1(Z)s，us，vs)ds-1(Z)sdBs-1(H)sdNs，-d2(Y)s=(f)2(s，Xt,x;u,vs，1(Y)s+1(H)s，2(Y)s，2(Z)s，us，vs)ds-2(Z)sdBs-2(H)sdNs，1(Y)T=Φ1（Xt,x;u,vT），2(Y)T=Φ2(Xt,x;u,vT），s∈[t,T].第i(i=1，2)个局中人的代价泛函:Ji（t，x;u，v）:=i(Y)t，x;u，vt，(t，x)∈[0，T]×Rn，其中（i(Y)t，x;u,v，i(Z)t，x;u,v，i(H)t，x;u，v），i=1，2，是上面方程的唯一解.
　　 对于NAD策略(α，β)∈At，Τ×Bt，T，存在唯一的一对容许控制(u，v)∈ut,T×vt，T满足(α(v)，β(u))=（u，v）.这允许我们定义Ji（t，x;α，β）:=Ji（t，x;u，v），与Ji(i=1，2，)相应的值函数:Wi(t，x):=esssupα∈At,Tessinfβ∈Bt,TJi(t,x;α，β)，和Ui(t，x):=essinfβ∈Bt,Tesssupα∈At,TJi(t，x;α，β).
　　 在研究Nash均衡收益中，我们得到下面的耦合Isaacs方程的概率解释.
　　 定理2.4.2值函数U=（U1，U2）和W=（W1，W2）分别是下面耦合Isaacs方程的粘性解:｛(e)/(e)tUi（T,x）+Hi+(t，x，U1(t，x)，U2(t,x)，D2Ui(t，x))=0，Ui（T，x）=Φi(x)，i=1，2，(t，x)∈[0，T）×Rn，和｛(e)/(e)tWi(t,x)+Hi-（t,x，W1（t,x），W2(t，x)，DWi(t,x),D2Wi(t，x))=0，Wi(T,x)=Φi(x),i=1,2,(t,x)∈[0,T)×Rn,其中，对于（t，x，y1，y2，p，A，u，v，）∈[0，T]×Rn×R×Rn×Rn×Sn×U×V，Hi（t,x，y1，y2，p,A，u，v）=1/2tr（σσT（t，x，u，v）A）++(f)i（t，x，y1，y2，pTσ(t，x，u，v)，u，v），Hi-(t，x，y1,y2,p，A)=supu∈Uinfv∈VHi（t，x，y1,y2,p,A，u，v），Hi-(t，x，y1,y2，p，A)=infv∈Vsupu∈U（t，x，y1,y2，p，A，u，v）.
　　 下面的带停时的动态规划原理在上面定理的证明中很关键.
　　 定理2.3.11对任意停时(τ)使得0≤t＜(τ)≤T,x∈Rn，i=1，2，则有Wi(t,x)=esssupα∈At,(τ)essinfβ∈Bt,(τ)iGt,x;α,β[WNt,i(τ)，（Xt,x;α,β(τ)）]，Ui(t，x)=essinfβ∈Bt,(τ)csssupα∈At,(τ)iGt,x;α,βt,(τ)[UNt,i(τ)（(τ)，Xt,x;α，β(τ)）]，其中At,(τ)和Bt,(τ)是随机区间[[t,(τ)]]上的NAD策略的集合.
　　 我们得到耦合的非线性代价泛函的随机微分对策的Nash均衡收益的刻划性定理和存在性定理.
　　 定理2.5.6对于(t，x)∈[0，T]×Rn，一对(e1，e2)∈R2是在(t，x)处的一个Nash均衡收益当且仅当，对于所有ε＞0，存在（uε，vε）∈ut，T×vt，T满足，对于所有δ∈[0，T-t]和j=1，2，P（Nt,jt+δ(Y)t,x;uε,vεt+δ≥Wnj(Nt,jt+δ)(t+δ,)Xt,x;uε,vεt+δ)-ε|Ft)≥1-ε,P-a.s.和|E[Jj(t，x;uε，vε）]-ej|≤ε.
　　 定理2.5.9在Isaacs条件下，对于任意(t，x)∈[0，T]×Rn，则存在在(t，x)处的Nash均衡收益.
　　 下面我们解释我们克服的主要困难.与[12]和第1章相比，第一个困难是得到两个耦合的倒向随机微分方程系统的动态规划原理.为了克服这个困难，我们将这个耦合的系统与一个辅助的不耦合的系统相关使得我们的代价泛函一样.这导致了一个新的问题:我们不仅需要确定时间的动态规划原理，还需要带停时的动态规划原理.我们不能用Buckdahn-Hu[14]对控制问题得到带停时的动态规划原理的方法，因为Buckdahn-Hu[14]中的单调方法不能用在随机微分对策的框架下.为了给两个局中人对称的工具，我们研究策略反对策略类型的随机微分对策，而不是[16]研究的策略反对控制类型的随机微分对策.最后，和第1章相比，跳的出现增加了复杂性.
　　 （二）第3章，得到了G-Brown运动的局部时和Tanaka公式，得到了G-Brown运动的的局部时的共同连续性，给出了G-Brown运动的局部时的平方变差.
　　 设Ω=G0(R+)是实值连续函数（ωt）t∈R+满足ω0=0，并赋予距离ρ(ω1，ω2)=∑∞i=12-i[（maxt∈[0,i]|ω1t-ω2t|）∧1]，ω1t，ω2t∈Ω.设B(Ω)是Ω上的Borelσ-代数.对于任意t∈[0，∞），令Ωt:={ω.(∧)t:ω∈Ω｝和Ft:=B(Ωt).设H是定义在Ω上的实值函数的线性空间满足，若Xi∈H，i=1，…，d，则对于所有(ψ)∈Cb，Lip(Rd)，(ψ)（X1，…，Xd）∈H.
　　 对于1≤p＜∞，Peng[94]引入的G-Brown运动是定义在次线性空间(Ω，LpG(Ω)，(E))上，其中Banach空间LpG(Ω)是H关于范数‖X‖p:=(E)[|X|p1/p的完备.在这个空间上，Bt(ω))=ωt，t∈[0，∞），ω∈Ω是G-Brown运动.此外，存在（Ω，B（Ω)）上弱紧概率测度集(p)满足(E)[·]=supP∈(p)E(P)[·].相关的Choquet容度:(c)(A):=supP∈(p)P(A),A∈B(Ω).集合A(∈)Ω称为极集如果(c)(A)=0.一个性质被称为拟必然（q.s.），如果它在一个极集外成立.
　　 任意P∈(p)，G-Brown运动B是连续的P-鞅，并且它的平方变差过程〈B〉在极集N外是连续和递增的过程.我们给出B的局部时的定义，它不依赖于概率测度P∈(p):对于任意a∈R，t∈[0，T]，和ω∈Ω\N，Lat(ω)=｛(limε↓0)1/2ε(∫t0)1（a-ε,a+ε）(Bs(ω)))d〈B〉s(ω)),(limε↓0)1/2ε(∫t0)1（a-ε，a+ε）（Bs(ω)））d〈B〉s(ω)＜∞;0，其他.在P∈(p)下，我们现在研究La，并考虑下面的随机积分:MPt=(∫t0)sgn(Bs-a)dBs，t∈[0,T].事实上，在P下，G-Brown运动B是一个连续平方可积的鞅，因此上面的积分在P下有定义.我们注意到过程MP只是在P-a.s.下有定义.设La，P是B在P下的局部时:La,Pt=|Bt-a|-|a|-MPt,t∈[0，T].由经典的结果我们有La,Pt，P存在关于(t，a)的P-连续修正，并且La,Pt=limε↓01/2ε(∫t0)1（a-ε，a+ε）(Bs)d〈B〉s，P-a.s.，t∈[0，T]，从而，由La的定义我们有Lat=La,Pt,P-a.s,t∈[0，T].因此，对于P∈(p)，La存在P-连续修正.但是，P不是被一个概率测度控制的.是否能够找到La的连续修正，甚至是否能够找在(E)下找到共同连续修正（α，t）→Lαt是一个非平凡的问题，并且在经典的框架下不能解决的.另一个问题是sgn(B.-a)的可积性.事实上，对于每个单独的P∈(p)，我们已经考虑了sgn(B.-a)的可积性.但是，主要困难是上面的概率测度不能被其中的一个概率测度所控制.为了克服困难，我们将要证明sgn(B.-a)属于关于G-Brown运动B可积的空间.
　　 我们得到下面很重要的命题.
　　 命题3.4.6对于任意实数a，δ＞0和t≥0，我们有(E)[(∫t0)1[a，a+δ]（Bs）d〈B〉s]≤Cδ.此外，如果(σ)＞0，则我们有(E)[(∫t0)1[a，a+δ](Bs)ds]≤Cδ.其中常数C依赖于t，但是不依赖于δ和a.
　　 推论3.4.7对于任意实数a和t≥0，我们有(∫t0)1｛a｝(Bs)d〈B〉s=0，q.s.此外，如果(σ)＞0，那么我们有(∫t0)1｛a}（Bs）ds=0，q.s.令sgn(x)={1;x＞0,0;x=0，-1;x＜0.
　　 我们得到G-Brown运动的局部时和Tanaka公式.
　　 定理3.4.9对于每个a∈R，sgn(B.-a)∈(M)2*(0，T).此外，对于任意t∈[0,T]，我们有|Bt-a|=|a|+(∫t0)sgn(Bs-a)dBs+Lat,其中Lat=limε→01/2ε(∫t0)1（a-ε，a+ε）（Bs）d〈B〉s.过程La是递增的.La被称为G-Brown运动在a处的局部时.
　　 我们证明了G-Brown运动的局部时有共同的连续修正.对于它的证明，我们用了逼近的方法，它不同于经典的证明.
　　 定理3.4.13对于所有t∈[0，T]，存在共同连续修正(a，t)(→)Lat.此外，对于γ＜1/2，(a，t)(→)Lat是γ-H(o)ld(e)r连续的.
　　 我们也得到了G-Brown运动的局部时的平方变差.
　　 定理3.5.4设(σ)＞0，则对于p≥1，a≤b，[a”b]上的分割序列πn=｛ani=a+i(b-a)/2n，i=0,1，…，2n｝，n≥1，下面的收敛在Lp中是一致收敛，limn→∞∑2n-1i=0（Lani+1t-Lanit）2=4(∫ba)Lxtdx.
　　 （三）第4章，得到G-鞅的随机积分表示.
　　 Lévy[69]和Doob[35]证明了经典的连续鞅M是Brown运动当且仅当它的平方变差过程是一个确定的函数〈M〉t=t，t≥0.最近，[120]和[121]得到了G-Brown运动的鞅刻划定理.Doob[35]得到了一个连续平方可积鞅可以表示成关于Brown运动的随机积分.本章得到了对称G-鞅可以表示成关于G-Brown运动的随机积分，它推广了[121]中的G-Brown运动的鞅刻划定理.我们的结果不同于Soner-Touzi-Zhang[109]和Song[110].[109]和[110]考虑G-Brown运动是给定的，我们是要找到一个G-Brown运动使得我们的结果成立.我们的结果推广了[121]中的G-鞅刻划性定理.
　　 定理4.4.3设f∈M2G（0，T）满足(E)[(∫T0)|fs|4ds]＜∞.此外，如果存在充分小的常数C满足0＜C≤|f|，并且(i)M是连续的对称G-鞅，(ii)过程｛M2t-(∫t0)f2sds}t∈[0，T]是G-鞅，(iii)过程{-M2t+σ20(∫t0)f2sds}t∈[0，T]是G-鞅，则对任意t∈[0,T]，存在G-Brown运动B满足Mt=(∫t0)fsdBs.
　　 （四）第5章，得到G-热方程解的Tychonoff唯一性.
　　 定理5.3.2在假设(H)下，u1，u2∈C（(Q)）是方程(5.1.2)在Q=(0，T)×Rn中的解，使得u1(0，x)=u2(0，x)=(ψ)(x).如果存在两个正常数c1，c2满足，一致对于t∈[0，T]，|u1(t,x)|≤c1ec2|x|2,|u2(t,x)|≤c1ec2|x|2,那么在(Q)中，u1≡u2.
　　 （五）第6章，研究一维的非Lipschitz条件下的倒向重随机微分方程，得到连续系数下倒向重随机微分方程的解的唯一性，得到非连续系数下倒向重随机微分方程的解的存在性.
　　 自从Pardoux-Peng[83]，只有几个学者通过放宽Lipschitz条件从而得到一维BDS-DEs解的存在性和唯一性.如果f对(y，z)连续和线性增长，和｛f（t,0,0）｝t∈[0，T]有界，Shi-Gu-Liu[107]得到了一维BDSDE至少存在有一个解.如果f有界，对y左连续和非降，和对z是Lipschitz连续，Lin[71]得到了一维BDSDE解的存在性.如果f对y左Lipschitz和左连续，对zLipschitz连续，Lin[72]证明了一维BDSDE至少存在一个解.
　　 我们在在｛f(t，0，0)｝t∈[0，T]平方可积的情况下，得到一维BDSDE解的存在性.在f对y是左Lipschitz和左连续，和对z是一致连续的条件下，我们得到一维BDSDE解的存在性.因为f对z是一致连续的，我们不能用[107]和[72]中的BDSDEs解的比较定理.为了得到BDSDEs解的存在性，我们首先得到在f对y是左Lipschitz和左连续，和对z是一致连续的条件下，BDSDEs解的比较定理.
　　 我们得到连续系数下倒向重随机微分方程解的存在性.
　　 定理6.3.3在假设（H7）和(H8')下，参数为（f，g，T,ξ）的一维BDSDE有最大解和最小解.
　　 在f对y是Lipschitz连续和对z是一致连续的情况下，我们得到倒向重随机微分方程解的唯一性和比较定理，它在定理6.4.2的证明中很关键.
　　 定理6.3.6在假设（H4）和(H10)下，BDSDE(6.2.1)有唯一的解(Y,Z)∈S2(0，T;R)×M2(0，T;Rd).
　　 定理6.3.8设参数为(f1，g，T,ξ1)和（f2，g，T,ξ2）的BDSDEs的解分别为（y1，z1）和(y2，z2).如果f1满足（H4）和(H10)，ξ1≤ξ2，a.s.，f1（t，y2t，z2t）≤f2（t，y2t，z2t），dPdt-a.s.（相应地，f2满足（H4）和(H10)，f1（t，y1t，z1t）≤f2（t，y1t，z1t），dPdt-a.s.)，则对任意t∈[0，T]，我们有y1t≤y2t，a.s.
　　 我们得到不连续系数下倒向重随机微分方程解的存在性.
　　 定理6.4.2在假设（H5），（H6）和（H9）下，参数为（f，g，T,ξ）的BDSDE有解.并且，如果(f1)满足（H4）和(H10)，那么BDSDE有最小解.