守恒型分裂-区域分解格式的方法和理论及其在多孔介质中多组分污染问题的应用

摘要

近年来，由于工业废水，农业灌溉和生活用水的大量排放，已经造成地下水污染.因此，涌现出大量地下水污染问题的研究工作.在组分污染问题中，组分的运移不仅仅受达西速度，分子扩散和机械弥散的影响，还要受到组分间的化学反应影响.一般而言，组分间的化学反应分为动力控制溶解-沉淀反应和化学平衡反应，例如:络化反应，氧化-还原反应，离子交换及气体的溶解-解析反应等.模拟地下水中多组分运移模型需要求解耦合的非线性偏微分方程组（描述水头的抛物型方程和描述多组分浓度的对流扩散方程等）.数值方法（有限元，有限差分等）是一种非常有力的工具.由于偏微分方程组的耦合性和非线性，研究区域规模大和计算时间长等原因，开发求解地下水中耦合的水头和多组分浓度方程组的质量守恒型的区域分解的有效数值方法是非常重要的.
　　区域分解方法把一个大区域分成多个小子区域，然后在每个小子区域上同时求解偏微分方程组，从而有效地进行并行计算.一般分为重叠区域分解和非重叠区域分解（.由于非重叠区域分解在每步时间间隔上具有计算量小和通信时间短的优势，求解抛物型方程的非迭代的显隐非重叠区域分解方法已取得重要成果.提出了混合格式，即首先通过显格式计算子区域的内边界，然后通过隐格式计算子区域的内解.为改善稳定性条件，进一步提出了求解抛物型方程的显隐区域分解(EIDD)方法.首先利用时间多步法或空间高阶格式计算内边界，然后通过隐式计算子区域内解.通过引入隐式校正，得到求解二维抛物型方程的无条件稳定显隐区域分解算法.提出了二维抛物型方程校正的显隐区域分解算法(CEIDD)，并给出了“Z”字型区域分解上的理论分析.[82]提出了求解二维抛物方程的时间三层格式的区域分解算法.即首先通过时间外推计算子区域的内边界点，然后通过隐格式计算子区域内解，最后通过隐格式校正内边界点.近来，通过结合非重叠块状区域分解和算子分裂技巧，[57]提出了一种有效的块状区域分解上求解高维抛物型方程的分裂-区域分解方法(S-DDM).即通过时间多步显式计算内边界点，其次通过一维算子分裂隐格式计算子区域内解.针对对流扩散问题，[108]提出了求解二维变系数对流扩散方程的时间三层的区域分解算法.提出了求解带状区域的对流扩散方程的区域分解算法.即通过显式迎风格式计算内边界点，其次通过隐式修正迎风格式计算内边界点.通过结合非重叠块状区域分解，算子分裂和一阶迎风格式，出了一种时间多步的迎风分裂-区域分解方法(S-DDM)求解对流扩散方程.但是，以上的区域分解算法[20，24，25，26，53，55，57，82,83，108，110]都不满足质量守恒这一重要的物理定律.
　　保持质量守恒的区域分解算法尤其在求解空间规模大和计算时间长的问题中是非常重要的.[21]提出了求解一维和二维带状区域分解抛物型方程的守恒型区域分解算法.即首先通过加权算子计算内边界通量，然后通过隐格式计算子区域内解.此格式是条件稳定，且给出的二维带状区域分解上的误差估计非最优.[109]提出了求解一维常系数抛物型方程的质量守恒型区域分解算法.尽管此格式满足质量守恒和无条件稳定的特点，但是它不能求解二维块状区域分解的抛物型方程.格式[21，109]受到一维和二维带状区域分解的严格限制，因此，研究块状区域分解上的守恒型区域分解算法是一项非常具有挑战和实际意义的工作.
　　全文分为四章.结构如下:
　　在第一章中，我们研究了带有Neumann边界条件的抛物型方程的质量守恒型分裂-区域分解方法.抛物型方程常被用来模拟地下水的水头，油藏中的压力,热传导中的温度等.由于研究和开发实际问题的规模大，计算时间长和计算存储量大，质量守恒的区域分解方法求解抛物型方程是非常需要的.在非重叠块状区域分解上，通过结合算子分裂技巧和解和通量在交错网格上的耦合性技术，我们提出和分析了求解二维块状区域分解的抛物型方程的质量守恒型分裂-区域分解方法(S-DDM).分割计算区域为多个非重叠的块状子区域，在每个块状子区域上，我们采用两步法计算内解和通量.第一步，首先通过半隐交界面通量格式（显格式）计算子区域x-方向内边界中间层通量，然后通过x-方向分裂解和通量的耦合隐格式计算子区域内解和通量，再校正计算交界面的通量.第二步，通过半隐交界面通量格式（显格式）计算子区域y-方向内边界中间层通量，其次通过y-方向分裂解和通量的耦合隐格式计算子区域内解和通量，然后校正计算新层交界面的通量.所提出的质量守恒的S-DDM格式不仅具有非重叠区域分解，算子分裂和无条件稳定的优势，更重要的是格式满足质量守恒.由于采用算子分裂和非重叠块状区域分解，分析格式的稳定性和收敛性具有挑战性.通过推导一些关于内边界上数值通量的辅助性引理，定义中间层精确解和利用矩阵理论，我们证明了质量守恒的S-DDM格式是无条件稳定.证明了格式满足质量守恒，并给出格式的误差估计.数值算例验证理论分析.
　　在第二章中，我们研究了二维对流扩散方程的守恒区域分解算法.对流扩散方程常被用来描述诸如热量传输,组分质量运移，气溶胶运动等现象.众所周知,在实际应用中，由于对流项占优导致偏微分方程双曲特性，采用标准有限差分格式会引起数值震荡.对于对流扩散问题，虽已有显隐区域分解方法的研究工作[25，55,108].但是这些区域分解算法都不满足质量守恒.至今未见到求解对流扩散方程的质量守恒区域分解方法的文献.我们结合二阶修正迎风技巧和解和通量的耦合格式，首次提出了求解二维块状区域分解的对流扩散方程的质量守恒的修正迎风分裂-区域分解方法(S-DDM).在每个子块状区域上，我们采用两步法计算最终的解和通量.在第一个时间半步,首先通过修正的半隐通量格式计算子区域x-方向中间层内边界通量，再通过x-方向分裂的解和通量的耦合修正迎风隐格式计算子区域内解和x-方向通量，然后校正计算中间层内边界通量.在第二个时间半步，通过修正的半隐通量格式计算子区域y-方向中间层内边界通量，其次通过y-方向分裂的解和通量的耦合修正迎风隐格式计算子区域内解和y-方向通量，最后校正计算新层内边界通量.我们证明了所提出的格式满足质量守恒，证明格式是无条件稳定，进一步分析得到误差估计.通过数值算例验证格式质量守恒性，收敛性和并行性.我们提出的修正迎风S-DDM格式不仅具有块状区域分解，算子分裂，二阶精度和无条件稳定.而且成功地克服了格式[25，55，108]不满足质量守恒的严重问题.
　　在第三章中，我们分析了扩散系数依赖于时间和空间的变系数抛物型方程的一类质量守恒型区域分解方法.通过结合内边界加权平均差分格式和x-方向和y-方向的分裂技巧，我们提出和分析了带有反应项的变系数抛物型方程的非重叠块状区域分解上的一类质量守恒型S-DDM格式.在每个时间间隔上，采用分数步算子分裂格式计算块状子区域的内解.首先通过多步加权平均差分格式计算x-方向内边界通量，然后通过x-方向分裂隐式计算子区域的中间层内解和x-方向通量.同样，沿y-方向计算新时刻的解和y-方向通量.我们证明所提出的内边界加权平均差分的分裂-区域分解格式满足全局质量守恒,并证明格式是弱条件稳定.我们分析了格式的收敛性并给出离散L2范数下的最优误差估计O（△t+hx2+ hy2+Hx5/2+Hy5/2）.数值算例验证格式收敛性，质量守恒性，稳定性和并行有效性.我们提出的变系数抛物型方程的质量守恒型S-DDM格式成功地克服了格式[21，109]仅在二维带状区域分解上的的限制条件.
　　在第四章中，我们研究了质量守恒的区域分解方法在多孔介质中地下水多组分污染问题中的应用.描述地下水多组分污染问题的数学模型是由一族耦合非线性偏微分方程组构成（描述水头的抛物型方程和描述多组分污染物浓度的对流扩散方程）.由于实际应用中地质结构的复杂性，研究区域规模大和计算时间长等原因，开发一种有效求解地下水多组分污染问题的质量守恒型的区域分解方法是非常重要的.结合菲重叠块状区域分解，算子分裂技巧和解和通量在交错网格上的耦合性，在每个时间间隔上采用两步法依次提出求解非重叠块状区域分解上的水头和污染物组分浓度的质量守恒型S-DDM迭代算法.第一步，首先通过半隐通量格式（显格式）计算水头的内交界面通量，其次通过一维算子分裂解和通量耦合的隐格式计算水头内解和通量.第二步，利用已得的水头和线性化浓度法，计算x-方向和z-方向的达西速度.第三步，结合修正迎风技巧和定义新的守恒通量，提出求解污染物组分浓度方程的质量守恒的修正迎风S-DDM格式.我们所提出的迭代逼近不但具有非重叠块状区域分解和算子分裂的优势，而且保持质量守恒.数值算例验证格式质量守恒，收敛阶，稳定性和并行有效性.我们模拟了在不同情形下污染物组分Ca2+，CO2-3Cl-和Na+间的沉淀反应(CaCO3沉淀)和输运情况.模拟了污染物HCl流经含有CaCO3盐和MgCO3盐的多孔介质时，与其发生溶解反应产生新污染物Ca2+，M92+和弱酸H2CO3的过程.实验表明所提出的守恒型区域分解方法很好的在块状区域分解上模拟了多孔介质多组分污染问题.

目录

声明

摘要

第一章 抛物型方程的守恒型分裂-区域分解方法和理论分析

§1．1 引言

§1．2 质量守恒型S-DDM格式

§1．3 格式的质量守恒性和无条件稳定性

§1．4 格式的收敛性

§1．5 数值算例

第二章 对流扩散方程的守恒型修正迎风分裂-区域分解方法和理论分析

§2．1 引言

§2．2 对流扩散问题的守恒型修正迎风分裂-区域分解方法

§2．2．1 修正迎风离散算子

§2．2．2 质量守恒型修正迎风S-DDM格式

§2．3 格式的质量守恒性和无条件稳定

§2．4 格式的收敛性分析

§2．5 数值算例

§2．5．1 常系数对流扩散问题

§2．5．2 变系数对流扩散问题

§2．5．3 高斯脉冲对流扩散问题

第三章 变系数抛物型方程的一类守恒型分裂-区域分解格式的理论分析

§3．1 引言

§3．2 变系数抛物型方程的一类守恒型S-DDM格式

§3．3 格式的质量守恒性和稳定性分析

§3．4 格式的收敛性分析

§3．5 数值实验

第四章 多孔介质中多组分污染问题的质量守恒型分裂-区域分解方法

§4．1 引言

§4．2 多孔介质中地下水多组分污染问题

§4．2．1 流体质量方程

§4．2．2 多组分浓度方程

§4．2．3 耦合的水头和多组分浓度方程组

§4．3 多孔介质中多组分污染问题的质量守恒型分裂-区域分解方法

§4．3．1 水头方程的质量守恒型S-DDM格式

§4．3．2 达西速度

§4．3．3 多组分浓度方程的质量守恒型修正迎风S-DDM格式

§4．3．4 多孔介质中多组分污染问题的质量守恒型S-DDM迭代算法

§4．4 数值实验

§4．4．1 数值算例1

§4．4．2 数值算例2

§4．4．3 数值算例3

参考文献

致谢

攻读博士学位期间完成论文情况

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