超材料麦克斯韦方程组的能量守恒分裂时域有限差分格式：方法、理论和应用

摘要

早在1968年，Veselago提出了一种介电常数和磁导率为负数的介质概念([67]).直到2000年，在Pendry等人([55])对这种特殊介质研究工作的基础上，Shelby和Smith在微波范畴内通过将金属线和环谐振器按照一定的方式周期排列首次人工合成了一种具备负介电常数和磁导率的复合材料，这为电磁学和材料学的发展带来了一次新的革命([58][60]).由于这些材料具备普通（天然）材料所不具备的物理特性，他们都被称作“超材料”(Metamaterials，MTMs)，也被称作双负介质(DNG)、负折射率材料(NIM)、左手材料(LHM)等([8]).迄今为止，已有多种超材料例如:双负材料(DNG);零折射率材料(ZIM)等([2][8][47][55][57][81]).这些特殊的材料具有天然材料无法替代的物理性质，例如:双负介质(DNG)具有负折射率，可以使电磁波（或者光）后向传播或者在任何方向上弯曲([17][18][35][54][68][79]);零折射率介质(ZIM)不仅能够实现完全控制光（或者电磁波）在空气中的传播，而且为包裹或隐藏物体提供了一种潜在的方法([81]).这些超常的物理特性使得超材料能够突破天然材料的局限性而在很多应用中发挥重要作用.比如3-D显示、远程航空应用、防空雷达、纳米刻蚀、医疗显影器、高增益天线、隐形设备以及地震屏蔽结构等([5][19][20][35][47]).
　　超材料中电磁现象的建模和分析既是超材料研究领域非常重要的一个方面，同时也在超材料的实际应用中有着广泛的需求.近年来，随着各种超材料的成功合成与应用，超材料相关的数值方法也成为研究的热点([14][15][30][68][80][81][82]).超材料作为一种色散介质，其中的物理参数（介电常数，磁导率等）具有频率相关性.针对色散介质的频率相关性，很多学者提出了一些处理方法，比如递归卷积(RC)法([40][46][59]);辅助微分方程(ADE)法([16][25][52][65]);Z-变换法([56][61])等.其中辅助微分方程(ADE)法是利用辅助微分方程并引入相关的场量将频域方程组转化为新的包含四个电磁场向量的新的方程组.
　　针对经典麦克斯韦方程组的时域有限差分方法的研究已经取得了很多成果.Yee在1966年提出了时域有限差分(FDTD)方法来求解经典的麦克斯韦方程组([74]).Yee格式是基于交错网格和中心差分的一种显格式，求解方便快捷，因此在电磁场数值计算中一直被广泛采用([48][63][64]).然而，Yee的时域有限差分算法依然存在不容忽视的弊端:它是条件稳定的，因此时间步长的选取受到CFL稳定性条件的限制，在求解高维及大区域实际问题时带来巨大的计算量.为了克服稳定性条件的局限性同时提高算法的精度，在求解经典麦克斯韦方程组的时域有限差分方法方面，研究者提出了很多无条件稳定的算法，比如:方向交替FDTD算法(ADI-FDTD)([24][28][50][72][77][78]);局部一维FDTD(LOD-FDTD)算法([1][45]);分裂FDTD(S-FDTD)算法([27]);辛-FDTD算法([62][71]);能量守恒分裂FDTD(EC-S-FDTD)算法([9][10][11][26])等.
　　在针对超材料中麦克斯韦方程组的数值方法的研究方面，对于高斯光束与双轴各向异性超材料平板之间的相互作用，[69]借助ADE方法构造了FDTD算法进行数值实验，有效地模拟了二维TE极化波在超材料中的传播.然而，传统的FDTD方法对高维问题的计算受到严格稳定性条件的限制.[51]对二维双耗散超材料麦克斯韦方程组的ADI-FDTD算法和LOD-FDTD算法等进行了研究和比较.另一方面，针对Drude模型超材料麦克斯韦方程组的各种有限元方法的研究已取得一些成果([7][37][38][41][42][43]).[43]提出用标准有限元方法求解该问题，并给出了相应的误差估计.[37]将混合元方法应用于三维超材料麦克斯韦方程组并对该方法进行了数值分析，证明了超收敛的结论.[42]研究间断有限元方法在超材料问题中的应用.
　　无损介质中经典麦克斯韦方程组的解满足电磁能量的恒等式.构造满足电磁能量守恒的数值格式是有效模拟长时间电磁场传播的重要课题.[9]和[10]首次对二维真空中的经典麦克斯韦方程组提出能量守恒和对称能量守恒的分裂时域有限差分算法，并严格证明了算法的能量守恒性和时空二阶收敛性.[11]中考虑三维真空中的麦克斯韦方程组，提出能量守恒的分裂时域有限差分方法(EC-S-FDTD)，证明该算法满足离散电磁能量恒等式和时空二阶收敛性.但是，关于超材料麦克斯韦方程组能量守恒算法方面的研究和文献至今很少.
　　构造具有全局能量守恒特征的数值算法对于高维超材料中的麦克斯韦方程组的计算具有重要的意义，保持离散情形下超材料中电磁场的能量恒等式能够更加有效和可靠地对实际的超材料电磁问题进行模拟.考虑了二维超材料的横磁场模型和三维超材料中的麦克斯韦方程组Drude模型，从连续方程出发获得超材料中电磁场所满足的新的全局能量守恒等式，提出新的满足离散全局能量守恒的分裂时域有限差分方法(EC-S-FDTD，S-EC-S-FDTD，GEC-S-FDTD)，严格证明所提出的算法满足离散全局能量守恒，严格证明了最优阶的误差估计.数值实验证实了理论结果.电磁波的数值模拟证明了超材料的负折射率和完美成像等物理特性.另外，将分裂算法的方法和理论应用于其他几个重要的电磁问题，包括:带积分边界条件的二维瞬变电磁勘探问题，非均匀环域内的电磁场传播，间断介质和完美匹配层的电磁散射问题.
　　全文分为五章，组织结构如下:
　　在第一章中，考虑Drude型超材料的二维横磁场模型.首先通过辅助微分方程和感应电磁流推导出关于电磁场和感应电磁流的麦克斯韦方程组的Drude模型，然后推导出在理想导体边界(PEC)条件下其满足的能量守恒式.在[9]对经典麦克斯韦方程组中的能量守恒分裂格式研究的基础上，对于该二维Drude超材料模型提出了新的两步能量守恒分裂时域有限差分算法(EC-S-FDTD)，严格证明了该算法的离散能量守恒性质和收敛性，所提出的两步格式具有时间一阶和空间二阶的精度.
　　在第二章中，提出了从第2k层到第2k+2层的四步对称能量守恒分裂时域有限差分(S-EC-S-FDTD)格式.证明了该算法的离散能量守恒性以及时空二阶收敛性.数值实验比较EC-S-FDTD算法，S-EC-S-FDTD算法和ADI-FDTD算法.数值结果表明所提出新的EC-S-FDTD格式和S-EC-S-FDTD格式满足能量守恒性，而且误差阶与理论分析的结论一致.通过采用完全匹配层截断无界区域的方法，用S-EC-S-FDTD算法对于连续波高斯光束正入射和斜入射到几类不同超材料的情形进行了长时间数值仿真，仿真结果进一步说明了超材料的物理特性.此外，还模拟了加入正弦点源的情况，数值结果呈现了电磁波在超材料中的传播过程，并体现了超材料产生的“完美成像”现象等.
　　在第三章中，考虑了重要的三维Drude型超材料模型，对于三维Drude型超材料麦克斯韦方程组，首先证明其满足的几个新的能量守恒等式.然后，提出新的三步全局能量守恒分裂时域有限差分(GEC-S-FDTD)方法，并证明了它满足新的能量守恒式.严格证明了新格式的时空二阶收敛性、超收敛性和离散散度的二阶收敛性.数值算例验证了理论分析的结论和算法的有效性，并仿真了三维情形下电磁波从真空到双负超材料中的传播过程.
　　在第四章中，对重要的带积分边界条件的二维瞬变电磁勘探问题提出ADI-FDTD算法，研究格式的理论分析，通过与经典的DF-FFT算法比较验证了所提出算法的有效性.数值算例表明ADI-FDTD算法可以有效地对含异常体地下的感应电场进行计算并判断异常体的位置.
　　在第五章中，研究能量守恒分裂算法在非均匀环域问题、间断介质和完美匹配层问题中的数值分析与仿真，证明能量守恒的相关结论，数值实验证实能量守恒和收敛阶的结果.对环域和间断介质中电磁波的传播和散射以及完全匹配层问题进行了数值模拟.

目录

声明

摘要

第一章 二维超材料中麦克斯韦方程组的能量守恒分裂时域有限差分方法

§1．1 引言

§1．2 超材料中麦克斯韦方程组的Drude模型

§1．3 能量守恒分裂时域有限差分(EC-S-FDTD)格式

§1．4 离散能量守恒

§1．5 误差估计

第二章 二维超材料中麦克斯韦方程组的对称能量守恒分裂时域有限差分方法

§2．1 引言

§2．2 对称能量守恒分裂时域有限差分(S-EC-S-FDTD)格式

§2．3 离散能量守恒

§2．4 误差估计

§2．5 数值实验

第三章 三维超材料中麦克斯韦方程组的全局能量守恒分裂时域有限差分方法

§3．1 引言

§3．2 三维超材料中麦克斯韦方程组的Drude模型

§3．3 全局能量守恒分裂时域有限差分(G-EC-S-FDTD)格式

§3．4 离散全局能量守恒

§3．5 收敛性和超收敛性

§3．6 数值实验

第四章 二维瞬变电磁勘探问题的ADI-FDTD数值模拟

§4．1 引言

§4．2 二维瞬变电磁(TEM)问题模型

§4．3 带积分边界条件的ADI-FDTD数值格式

§4．4 数值实验

第五章 能量守恒分裂时域有限差分方法在非均匀环域、间断介质和完美匹配层问题中的应用

§5．1 引言

§5．2 环域中麦克斯韦方程组的能量守恒分裂FDTD算法

§5．2．1 环域横电场模型

§5．2．2 环域能量守恒分裂FDTD算法

§5．2．3 数值实验

§5．3 能量守恒格式在间断介质散射和PML问题中的应用

§5．3．1 间断介质二维麦克斯韦方程组的能量守恒分裂FDTD算法

§5．3．2 数值实验

参考文献

致谢

攻读博士学位期间完成论文情况

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