有限群全形的Coleman自同构研究

摘要

Coleman自同构始于研究有限群G在整群环ZG的单位群U(ZG)中的正规化子问题。设G为有限群,σ为G的自同构,对G的任意Sylow子群P,如果σ在P上的限制等于G的某个内自同构在P上的限制,则称σ为G的一个Coleman自同构,所有这样的自同构构成了Aut(G)的一个特征子群,记为Aut Col(G)。显然可以得知Inn(G)是AutCol(G)的一个正规子群,令OutCol(G)=AutCol(G)/Inn(G),我们称OutCol(G)为G的Coleman外自同构群。
　　Dade E C.通过对有限群的Coleman自同构的研究得到了Coleman外自同构群是幂零群,最近Hertweck M.和Kimmerle W.又证明了Coleman外自同构群是交换群,并在该文中还得到了Coleman外自同构群OutCol(G)为p'?群以及Coleman外自同构群是平凡群的一些充分条件。
　　由Coleman的结果我们易推出有限幂零群的Coleman自同构都是内自同构,那么幂零群全形的Coleman自同构群情况怎样?本文主要是建立在对全形及Coleman自同构概念的基础上,结合Coleman自同构的一些性质,证明了有限幂零群全形的Coleman外自同构群是平凡群,即有限幂零群全形的Coleman自同构是都是内自同构;并且还证明了内幂零群的Coleman外自同构群是平凡群。