薄板弯曲分析的一致性高阶无单元伽辽金法研究

摘要

薄板作为工程中常见的一种结构部件，被广泛应用于土木建筑、航空航天、船舶、机械及化工等行业，如土木工程中的桥面板等。因此，基于薄板弯曲理论发展薄板问题高效高精度的数值方法对于薄板精确的强度计算，乃至对于它们在工程中的安全运行具有重要意义。 与控制方程为2阶偏微分方程的一般固体问题不同，薄板弯曲理论的控制方程是4阶偏微分方程，要求近似函数具有C1连续性，导致仅具有C0连续性的普通有限元法不能直接应用于薄板弯曲问题，需要构建复杂的薄板单元。与有限元法不同，无单元伽辽金法的近似函数具有高阶连续性，可方便地直接应用于薄板弯曲分析。 本文致力于研究和建立薄板小挠度弯曲分析的高效高精度的无单元伽辽金法，主要工作如下： （1）本文对移动最小二乘法近似函数的计算公式作了详细推导，建立了三阶近似节点形函数的算法流程；基于Kirchhoff假定推导了薄板小挠度弯曲问题的控制方程和边界条件，建立了相应的Galerkin弱形式，并采用无单元法进行空间离散，得到了离散化列式。 （2）无单元法的形函数为有理函数，高斯积分、Hammer积分等常规积分方法不能精确积分弱形式。针对该问题，本文基于胡-鹫三变量混合变分原理，建立了采用背景四边形网格的一致性积分方法。 （3）本文采用FORTRAN语言编写了薄板小挠度弯曲问题无单元法数值求解的计算机程序，包含标准高斯积分和所发展的一致性积分方法。 （4）本文选取圆板、方板和多孔圆板算例对所发展的一致性积分方法和所编写的计算程序进行了详细考核。数值结果表明，与标准无单元法相比，本文发展的一致性无单元方法显著改善了计算精度和效率。同时，本文方法对于复杂几何形状的薄板弯曲问题也具有很好的适用性。

目录

声明

1 绪论

1.1 研究背景及意义

1.2 国内外研究现状

1.2.1 无网格法发展概述

1.2.2 薄板弯曲求解方法的发展

1.3 本文主要内容

2无网络基本理论

2.1 无网格形函数

2.1.1 移动最小二乘法

2.1.2 节点权函数及影响域

2.2 控制方程及其离散

2.2.1 Galerkin弱形式

2.2.2Petrov-Galerkin弱形式

2.3 本质边界条件施加

2.3.1 拉格朗日乘子法

2.3.2 罚函数法

2.3.3 连续掺混法

2.4 数值积分方法

2.4.1 背景格子积分

2.4.2 背景网格积分

2.4.3 节点积分

2.5 本章小节

3 薄板弯曲问题高效无网格方法

3.1 薄板弯曲小挠度基本理论

3.1.1 Kirchhoff假设

3.1.2 弹性曲面微分方程

3.1.3 弯矩与剪力

3.1.4 薄板的边界条件

3.2 控制方程离散

3.3 曲率光顺

3.4 一致性高阶积分方法

3.4.1 基于背景四边形网格的积分方法

3.4.2 修正导数微分一致性

3.5 本章小结

4 数值算例

4.1 圆形薄板弯曲变形算例

4.1.1 简支圆形薄板受均布载荷作用

4.2 方形薄板弯曲变形算例

4.2.1 四边简支方形薄板受均布载荷作用

4.2.2 四边简支方形薄板受正弦载荷作用

4.2.3 四角点简支方形薄板受均布载荷作用

4.3 简支多孔圆形薄板的弯曲算例

4.4 本章小结

结论

参考文献

攻读硕士学位期间发表学术论文情况

致谢

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