一致性高阶无单元伽辽金法及裂纹扩展分析

摘要

无单元伽辽金法(Element-Free Galerkin method，EFG)是近二十余年逐步发展起来的一种无网格方法，由于其具有不依赖于网格单元建立近似函数、易于构造高阶近似以及形函数高度光滑等优点，因此在裂纹扩展、自适应分析、板壳计算以及大变形模拟等方面展现出显著的优势，极具发展潜力。然而，由于无单元伽辽金法的形函数为非多项式的有理函数，弱形式的数值积分难以准确计算，需要采用较多的数值积分点才能保证计算的稳定性，不仅导致计算效率低，而且积分精度也不够，不能精确通过对于保证收敛性具有重要意义的分片试验，这在很大程度上限制了其在工程上的广泛应用。如何理性地减少积分点数目，同时保证计算精度，从而显著提高无单元法的计算效率是具有重要研究意义的科学问题，这正是本文主要研究的问题。
　　本文工作的前期基础是段庆林等于2012年提出的无网格法的“导数一致性框架”。采用由该框架确定的修正导数计算刚度阵，可达到减少积分点数目和提高计算效率的效果。然而，该方法将修正导数引入到刚度阵缺乏理论基础。本文基于Hu-Washizu三变量变分原理重新推导出该“导数一致性框架”，而且修正导数自然地出现在弱形式中，从而为该方法奠定了数学基础，并将其称之为一致性无单元伽辽金法(Consistent Element-Free Galerkin method，CEFG)。对于平面问题，本文分别建立了二阶和三阶CEFG方法，大幅度减少了EFG所需的积分点数目，同时改善了计算精度和收敛性，因而显著提高了EFG方法的计算效率。同时，本文还将该方法拓展到三维，建立了二阶一致四点积分方法(Quadratically Consistent4-point integration method,QC4)，显著改善了三维无单元法的计算精度、收敛性和计算效率。
　　本文还发展了一致性无单元伽辽金法的一点积分方法。该方法基于所建立的导数修正一致性框架，通过引入泰勒展开技术进一步减少积分点数目，在每个积分子域上仅使用一个积分点，可精确再生线性应变场且无沙漏模式产生。所建立的一点积分方法能精确通过线性和二次分片试验，因而称之为二阶一致1点积分方法(Quadratically Consistent1-point integration method，QC1)。与其它一点积分方法相比，所建立的QC1方法在计算精度、收敛性、稳定性以及计算效率等方面均展现出显著优势。
　　裂纹扩展的数值模拟是无单元伽辽金法的重要应用领域之一。本文将所建立的一致性高阶无单元伽辽金法由连续体问题拓展到裂纹问题（即非连续体问题）。采用虚拟节点法描述裂纹处位移的强间断，提出了虚拟节点的引入算法和断裂“单元”的数值积分方法。相较于标准的高阶无网格法和低阶一致性无网格法，一致性高阶方法显著改善了应力强度因子的计算精度，同时能够准确预测裂纹扩展路径。进一步地，本文充分利用了无单元法易于局部加密节点的优点，随裂纹扩展在裂尖附近自适应地增加计算节点，实现了裂纹扩展过程的自适应模拟，显著减少了节点数目，缩小了计算规模。
　　此外，本文还对无单元法精确施加本质边界条件开展了研究工作，分别考察了耦合有限元和耦合权函数的本质边界条件施加方法，并给出了改进措施。

目录

声明

摘要

图目录

表目录

主要符号表

1 绪论

1．1研究背景与意义

1．2无网格法简介

1．3裂纹扩展分析的研究现状

1．4本文的主要工作

2 无网格法的基本理论

2．1 引言

2．2无网格形函数的建立

2．2．1移动最小二乘近似的基本理论

2．2．2节点权函数和影响域

2．2．3 MLS形函数及其导数的计算

2．2．4形成过程的改进

2．2．5其它无网格形函数的建立方法

2．3线弹性力学控制方程及其Galerkin弱形式

2．4无网格法的数值积分方案

2．4．1背景格子积分

2．4．2背景网格积分

2．4．3节点积分

2．5本质边界条件施加方法

2．5．1拉格朗日乘子法

2．5．2修正变分原理法

2．5．3罚函数法

2．5．4 Nitsche法

2．5．5位移约束方程法

2．5．6与有限元耦合法

2．6本章小结

3 一致性高阶无单元伽辽金法

3．1 引言

3．2导数一致性框架

3．2．1微分近似一致性(DAC)

3．2．2离散散度一致性(DDC)

3．3 节点导数一致性及分片试验条件

3．3．1节点导数一致性

3．3．2分片试验条件

3．4基于Hu-Washizu三变量变分原理的一致性框架

3．5二维问题的一致性高阶无单元伽辽金法

3．5．1二阶一致三点积分方法

3．5．2三阶近似的一致性无网格法

3．5．3数值算例

3．6三维问题的一致性高阶无单元伽辽金法

3．6．1二阶一致四点积分方法

3．6．2数值算例

3．7本章小结

4 一致性高阶无单元伽辽金法的一点积分方法

4．1 引言

4．2二维问题的一致性一点积分方法

4．3三维问题的一致性一点积分方法

4．3．1二阶一致一点积分方法

4．3．2数值算例

4．4本章小结

5 裂纹扩展分析

5．1 引言

5．2线弹性断裂力学基础

5．2．1 裂纹尖端附近的位移场和应力场

5．2．2 J积分和应力强度因子的数值计算

5．2．3裂纹萌生及扩展依据

5．3裂纹的数值模型及空间离散

5．3．1位移强间断的数值描述

5．3．2控制方程的弱形式及空间离散

5．4断裂区域的数值积分方法

5．5数值算例

5．5．1间断分片试验

5．5．2受剪单边裂纹

5．5．3倒角裂纹问题

5．5．4三孔梁的三点弯曲问题

5．6 h型自适应分析

5．6．1细化区域的确定

5．6．2数值算例

5．7本章小结

6 本质边界条件施加方法研究

6．1 引言

6．2耦合法施加本质边界条件

6．2．1与有限元耦合法

6．2．2数值算例

6．2．3与权函数耦合法

6．2．4数值算例

6．3本章小结

7 结论与展望

7．1 总结

7．2创新点

7．3 展望

参考文献

附录

攻读博士学位期间科研项目及科研成果

致谢

作者简介