改进的Adomian分解法在非线性方程中的应用

摘要

无论是在自然科学领域还是社会科学领域中，非线性问题都备受关注。Adomian分解法(ADM)是一种通用的求解线性和非线性问题近似解析解的数学方法。Adomian分解法是由美国数学物理学家George Adomian在上世纪八十年代提出并发展起来的。该方法的核心思想是将求解的方程分解为几个部分，主要是线性和非线性部分，把方程的解表示为无穷级数的形式，同时用特殊的多项式来代替方程中的非线性项，最后利用逆算符技术，由低阶分量进行迭代求出高阶分量，进而求得任意精度的逼近解甚至是真实解。 Adomian分解法自从提出以来，不断被许多专家学者优化改进。2010年Wazwaz提出了一种新的方法(LADM)，将Laplace变换和Adomian分解法结合在一起，并将该方法成功的用于非线性Volterra积分微分方程的求解。张晓龙等人提出了带有收敛加速参数的Adomian分解法，通过选择合适的参数值可以加速收敛速度，扩大收敛区域。 本文对传统的Adomian分解法进行了一种新的改进，首先在方程中引入了一个收敛参数c，之后将带参数的Adomian分解法与Laplace变换结合起来。这种方法在参数c=1时退化为传统的LADM，随后用例子证明，方法在参数c为最优值时，求得方程（方程组）的解要比传统LADM求得的解更精确。 本文第一章介绍了非线性问题和Adomian分解法的研究背景和历史；第二章中对分数阶微积分中的几个定义做了简单的介绍，并重点介绍了Adomian分解法的基本原理和一些改进；第三章在介绍改进的Adomain分解法的基础上，求解了非线性的分数阶Riccati方程；第四章将改进的Adomain分解法拓展到非线性的方程组中，并将求得的解与传统的LADM解进行比较；最后，给出了结论。

目录

声明

1 绪论

2 预备知识

2.1 Laplace变换

2.2 分数阶微积分

2.3 Adomian分解法的基本原理

2.3.1 求解方程的分解法

2.3.2 求解方程组的分解法

2.4 多变量Adomian多项式的计算

2.5 Adomian分解法的优化与发展

2.5.1 Laplace-Adomian分解法

2.5.2 两步Adomian分解法

2.5.3 带参数的Adomian分解法（AMP方法）

3 分数阶Riccati方程的求解

3.1 方法介绍

3.2 数值算例

4 方程组的求解

4.1 方法介绍

4.2 数值算例

结论

参考文献

攻读硕士学位期间发表学术论文情况

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