具有排斥型奇性的二阶微分方程周期解问题的研究

摘要

从微积分理论形成以来，人们一直用微分方程来解释各种自然现象，不断地取得了显著的成效.微分方程来自人类的社会实践，又是解决实际问题的一个最强有力的数学方法.具有奇性的微分方程来源于物理、生物和医学等众多学科领域，具有重要的应用价值.在数学上，由于奇性条件对微分方程动力学性质具有重要影响，这使得具有奇性的微分方程的研究受到更广泛的关注.本文利用重合度拓展定理研究三类具有排斥型奇性的二阶微分方程周期解的存在性，该问题一直都是微分方程理论研究中的热点问题.全文分为五个部分，主要内容安排如下: 第一章介绍了关于微分方程周期解的研究现状以及发展趋势，概述本文的主要工作，并简单介绍一些基础理论. 第二章研究一类具有排斥型奇性的中立型时滞Liénard方程周期正解的存在性问题，利用Mawhin重合度拓展定理得到方程至少存在一个T-周期解. 第三章研究一类具有排斥型奇性的Rayleigh方程周期正解的存在性问题，利用重合度拓展定理得到方程至少存在一个T-周期解. 第四章研究一类具有排斥型奇性的Liénard方程周期正解的存在性问题，利用重合度拓展定理得到方程至少存在一个T-周期解. 最后，第五章是对本文的总结与展望，希望能给读者一定的收获和启发. 与已有文献不同的是，本文所研究的方程中恢复力项除了在x=0处具有排斥型奇性外，在x=+∞处还具有不定型奇性，即恢复力项正则部分前的系数ψ(t)在[0，T]上可变号，此表明已有相关研究中的周期正解先验界估计方法将不再适用本文所讨论的方程.本文借助于分析技巧，探讨了新的周期正解先验界估计方法，该方法有助于我们克服因方程在x=+∞处具有不定型奇性而引起的周期正解先验界估计的困难.

目录

声明

摘要

第一章 前言

1．1 研究工作的背景和进展概况

1．2 本文的主要工作

1．3 本文的创新点

第二章 具有奇性的中立型时滞Liénard方程周期解的存在性

2．2 预备引理

2．3 主要结论

第三章 具有奇性的Rayleigh方程周期解的存在性

3．1 引言

3．2 预备引理

3．3 主要结论

第四章 具有奇性的Liénard方程周期解的存在性

4．1 引言

4．2 预备引理

4．3 主要结论

第五章 总结和展望

参考文献

附录一 个人简介

致谢