基于等分原理的奇异摄动问题的近似解及其导数误差分析

摘要

奇异摄动两点边值问题可应用于计算流体力学、半导体理论和材料科学等领域，所以吸引着众多国内外学者的关注。但这类问题在均匀网格上得不到满意的数值解。为了能得到所求问题稳定可靠的数值解，必须构建自适应非均匀网格。
　　 本文研究了奇异摄动两点边值问题更一般的非守恒形式。正文分为两部分，第一部分，针对所研究的问题，给出了对方程两阶导数为向前差分的迎风差分格式，基于等分原理来构造网格，即网格是通过等分布一个区域上的控制函数产生的。我们选取控制函数M(x)为√1+(ε-1e-βx/ε)2，这是一类新的控制函数，不含真解或数值解，更方便实际的计算。利用离散的格林函数可以得到不依赖于摄动参数ε的收敛结果，误差阶为(O)(N-1)。此外，在实际应用中，有时更关注逼近梯度或逼近流，而不是解本身，所以也分析了误差导数，得到收敛的结果，误差阶也为(O)(N-1)。第二部分，针对所研究的问题，采用对方程两阶导数为中心差分的迎风差分格式。这种格式在任意网格上都具有一阶相容性。我们构造自适应网格，这种网格是通过等分布基于弧长的控制函数生成的。控制函数、√1+(D-uiN)2中用到了数值解。利用离散的格林函数可以得到不依赖于摄动参数ε的收敛结果，误差阶为(O)(N-1)。同时也得到了误差导数的阶也为(O)(N-1)。
　　 文章最后，作者总结了本文的工作并对探索一般的非守恒形式的奇异摄动两点边值问题提出了展望。