关于单位圆盘上p-调和映射一些性质的研究

摘要

设F=u+iv是区域D()C上的2p(p≥1)次连续可微复值函数，若F满足p-调和方程△pF=△(△p-1)F=0，则称F是p-调和的，其中△表示复值Laplace算子特别地，当p=1时，F为调和映射；当p=2时，F为双调和映射。
　　 本学位论文主要研究p-调和映射的Landau-Bloch定理，调和映射等价模，调和映射中的Girela-Pelaez问题等.全文共由五章构成，具体安排如下。
　　 第一章，介绍了研究问题的背景和得到的主要结果。
　　 第二章，研究定义在单位圆盘上调和映射的一些性质.首先讨论了有界调和映射的系数估计和Landa-u-Bloch定理，线性连通性与调和映射单叶性之间的关系以及调和Bloch空间.所得结果改进或推广了已有的相应结果.其次，讨论了调和Lipschitz空间的一些性质以及K-拟正则调和映射的等价模性质.所得结果推广了Dyakonov于1997年发表在ActaMath.上的相应结果.最后，定义了复值调和映射的Hardy空间并研究了其积分平均等性质，所得结果说明Girela和Pelaez于2004年在Ann.Acad.Sci.Fenn.Math.上提出的一个公开问题对于调和映射也是成立的.另外，还建立了调和Hardy空间中的系数估计以及偏差定理。
　　 第三章，研究了双调和映射的复合问题以及双调和映射的Goodman-Saff猜测，所得结果说明了Goodman-Saff猜测对于一类包含所有单叶调和映射的双调和映射也是成立的。
　　 第四章，研究p-调和映射的Bloch常数，Landau-Bloch定理以及变化域，所得结果是Colonna于1989年发表在IndianaUniv.Math.J。上主要结果的改进和Abdulhadi和Muhanna于2008年发表在J.Math。Anal.Appl.上相应结果的推广。
　　 第五章，讨论一类椭圆偏微分方程解的性质，此研究是解析函数和调和映射中相关讨论的推广.主要证明Girela和Pelaez问题对于此类方程的解亦是成立的；同时还讨论了此类方程解的Dirichlet型能量积分的有界性、是否属于Hp空间以及是否具有调和majorant三者的关系。