混合约束条件下矩阵方程问题迭代解法研究

摘要

线性和非线性矩阵方程问题的求解是数值代数领域中的重要研究课题.在现代金融理论,系统工程,优化方法,统计分析,稳定性理论,时间序列分析,控制论和信息论等领域中具有重要的应用.本论文研究如下几类问题：
　　问题I、给定矩阵A∈Rm×n, B∈Rn×p, C∈Rm×p, L∈Rn×n, U∈Rn×n和实数ε≥0,求矩阵X使得（此处公式省略）
　　其中λmin(X)表示矩阵X的最小特征值.
　　问题II、给定矩阵A∈Rm×n, B∈Rn×p, C∈Rm×p, E∈Rq×n, F∈Rn×t, D∈Rq×t,求矩阵X使得（此处公式省略）
　　问题III、给定矩阵A, B, C∈Rm×n, L1, U1∈Rn×n, L2, U2∈Rm×m和实数ε1,ε2≥0,求矩阵X, Y使得（此处公式省略）
　　问题IV、给定矩阵Q∈S Rm×m+, A∈Rm×m和大于或等于1的整数n,求矩阵X∈S Rm×m+使得（此处公式省略）
　　在第2章中,讨论了矩阵函数f(X)=kAXB?Ck2的特性及问题I的解的存在性和唯一性；给出了利用Dykstra’s交替投影算法求解问题I的基本步骤及说明算法有效性的数值例子.
　　在第3章中,给出了矩阵X?是问题I和问题II的解的充分必要条件.基于增广拉格朗日乘子算法思想,给出了求解问题I和问题II的矩阵形式的增广拉格朗日乘子迭代方法,证明了迭代方法的收敛性,并给出了说明算法有效性的数值例子.
　　在第4章中,基于交替方向乘子算法思想,给出了求解问题I的矩阵形式的交替方向乘子迭代方法,证明了迭代方法的收敛性,并给出了说明算法有效性的数值例子.
　　在第5章中,给出了求解问题I的交替近似梯度迭代算法,证明了迭代方法的收敛性,并给出了说明算法有效性的数值例子.
　　在第6章中,首先给出了求解问题III的交替方向乘子算法,并证明了迭代方法的收敛性；然后,基于普通內积理论,给出求解迭代算法中的子问题的直接算法；最后,给出了说明算法有效性的数值例子.
　　在第7章中,讨论了利用牛顿迭代方法求解问题IV,证明了当对称正定矩阵Q满足不等式（此处公式省略）
　　时,由迭代方法产生的矩阵序列{Xk}∞k=0, X0=Q都包含只含有非线性矩阵方程内唯一的一个解的闭球B(Q,δ)内,并且收敛到闭凸集B(Q,δ)里的唯一的解.同时给出了矩阵方程在闭凸集B(Q,δ)的唯一精确解与迭代解Xk的误差估计表达式.

目录

声明

第1章 绪论

1.1 研究意义和研究现状

1.2 本文的主要工作

1.3 基本概念和若干引理

1.4 符号说明

第2章 混合约束条件下矩阵方程AX B=C的Dykstra’s交

2.1 引言

2.2 矩阵函数f (X)=kAXB?Ck2的特性

2.3 Dykstra’s交替投影算法

2.4 Dykstra’s交替投影算法求解问题(2.1)

2.5 数值实验

2.6 本章小结

第3章 混合约束条件下矩阵方程AX B=C的增广拉格朗

3.1 引言

3.2 增广拉格朗日乘子算法

3.3 增广拉格朗日乘子法求解问题(3.1)

3.4 增广拉格朗日乘子法求解问题(3.2)

3.5 数值实验

3.6 本章小结

第4章 混合约束条件下矩阵方程AX B=C的交替方向乘

4.1 引言

4.2 交替方向乘子算法

4.3 交替方向乘子算法求解问题(3.1)

4.4 数值实验

4.5 本章小结

第5章 混合约束条件下矩阵方程AX B=C的交替近似梯

5.1 引言

5.2 交替近似梯度算法

5.3 交替近似梯度算法求解问题(3.1)

5.4 数值实验

5.5 本章小结

第6章 混合约束条件矩阵方程AX+Y B=C的交替方向

6.1 引言

6.2 问题(6.2)的交替方向乘子算法

6.3 子问题(6.16)和(6.17)的求解

6.4 数值实验

6.5 本章小结

第7章 非线性矩阵方程的牛顿迭代算法

7.1 引言

7.2 迭代法的收敛性分析

7.3 数值例子

7.4 本章小结

总结与展望

参考文献

附录A 发表论文和参加科研情况说明

致谢