凸域内定长线段的运动测度的另一种表达式

摘要

本论文以凸体为研究对象，研究的是凸域内定长线段的运动测度的表达式。 凸域内定长线段的运动测度公式是一个几何测度问题，最早的几何测度问题是著名的Buffon投针问题。上世纪80年代任德麟教授在其著作《积分几何学引论》中运用运动密度，Poincare公式(与定曲线相交的动曲线集的测度公式)及Blaschke运动基本公式(与定区域相交的动区域集的测度公式)得到运动测度来解决几何概率问题。 在《积分几何学引论》中，引入凸域的广义支持函数和限弦函数两个新概念，利用它们建立了凸域内定长线段的运动测度(即包含测度)的普适性公式，并对矩形区域进行了讨论。本文在此基础上，再引入径向函数的概念，将原有的测度公式中直线的广义法式用径向函数来变换，将公式中的直角坐标系下的结果用直线密度的极坐标形式代换，获得了运动测度公式的另一种表达式，并给予了严格的数学证明。当凸域由径向函数给出时，此公式提供了一种直接计算包含测度的方法。 为验证新的表达式，本论文还给出了在圆中运用新表达式的例子。

目录

文摘

英文文摘

第一章绪论

1.1综述

1.2问题的提出及研究现状分析

1.3本论文所作的工作

1.4研究目标

1.5本研究的创新之处

1.6本论文的内容安排

第二章凸域内定长线段运动测度公式

2.1引言

2.2问题的描述和预备知识

2.2.1基本概念

2.2.2凸曲线，支持线及其存在性

2.2.3直线的广义法式

2.2.4凸集的支持函数与宽度函数

2.2.5凸曲线作为直线族的包络

2.2.6直线的密度及其另外一些形式

2.2.7 Blaschke公式及其直接推论

2.2.8凸域内定长线段运动测度

第三章凸域内定长线段运动测度的另一种表达式

3.1主要结论及其证明

3.2例子

第四章结论与展望

参考文献

致 谢