延迟积分微分方程的变步长Runge-Kutta方法

摘要

延迟积分微分方程(DIDEs)系统广泛应用于描述经济学、动力学、自动控制和通讯网络等领域中的各种现象。但是由于延迟积分微分方程的复杂性，获得DIDEs的解析表达式通常是非常困难的，因此研究这类系统的数值算法显得尤为必要。
　　 Runge-Kutta 方法，线性多步法，外推法是求解延迟微分方程初值问题的常用数值方法。而变步长方法由于能根据计算情况对步长的大小进行自动调整，一般可起到既保证计算精度又节省计算时间和计算量的作用，因此，实用性较好，应用也较为广泛。当要求步长自动调整时，变步长Runge-Kutta法比较常见。外推法和嵌入Runge-Kutta 方法是两种常用的变步长方法。
　　 本文首先介绍了一般变步长方法，总结了通常变步长方法的计算流程。其次，扩展上述方法，构造出可用于求解DIDEs的变步长方法，给出了自动选取步长的判断准则和计算流程。最后，对变步长方法进行试验。对于四个具有广泛代表性的DIDEs，分别利用显式和隐式的基于外推法的变步长方法以及基于嵌入Runge-Kutta方法的变步长方法进行数值求解，并且比较相对误差和绝对误差对于计算结果的影响。