Meyer小波构造中S形函数的非多项式实现

摘要

小波分析是上世纪80年代中期发展起来的一门新兴的数学理论和方法，它被认为是傅里叶分析方法的突破性发展，它具有理论精深和应用广泛的特性。小波变换是小波分析的基础，选取不同的小波作小波变换，其在应用领域的效果也不同。作为频谱有限的Meyer型小波具有良好的光滑性、衰减速度快、一定的可微性等性质，并且其性质受尺度函数中选取的S形函数所影响，所以S形函数的构造对Meyer小波的性质起着重要作用，而且Meyer小波在信号处理、电力系统的谐波检测等领域有着广泛应用。因此，本文对频谱有限小波进行研究并且实现了Meyer小波中S形非多项式函数的构造，主要内容如下.
　　首先，讨论由Shannon尺度函数表示的几个具有频谱有限的小波函数及其性质，它们在时间域上具有衰减性、频域上具有紧支撑性，而且这几个无论是正交还是非正交的小波，都可以利用小波变换和再生核空间理论，得到相应的小波变换像空间的再生核函数的一般表达式，以及当固定尺度因子时，得到其小波变换像空间的再生核函数的解析表达式。这为频谱有限小波变换的像空间描述奠定了理论基础。
　　此外，由于Shannon小波有理想的频域，但是它在时间域的局部性很差。通过平滑Shannon尺度函数在频域上尖锐的边缘值可以得到Meyer小波的尺度函数，所以本文研究了正交的频谱有限的Meyer型小波函数。由于在Meyer型小波构造中S形函数的性质直接影响着Meyer小波的可微性、光滑性和衰减速度等，所以S形函数的选取至关重要。一方面，通过构造一个充分光滑的非多项式S形函数，研究其性质，给出了相应的具有充分光滑、高阶消失矩且无穷次可微性的频谱有限的Meyer型小波。另一方面，利用多分辨分析方法构造一个频谱有限的尺度函数，进而获得较广泛的Meyer小波函数，使得工程上常见的Meyer小波为它的特例。这为Meyer小波函数应用于信号的检测、图像处理等方面提供理论依据。最后将本文给出的非多项式型充分光滑的S形函数作为BP神经网络函数逼近中的激励函数，可以获得较好的函数逼近效果。

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 课题研究的目的及意义

1．2 国内外研究发展状况

1．2．1 Shannon小波变换

1．2．2 Meyer小波变换

1．3 主要研究内容

第2章 预备知识

2．1 Fourier变换及其性质

2．2 多分辨分析

2．3 再生核函数定义及性质

2．4 本章小结

第3章 Shannon尺度函数表示的频谱有限小波

3．1 引言

3．2 频谱有限的小波函数及性质

3．2．1 Shannon尺度函数表示的小波函数及性质

3．2．2 Shannon尺度函数表示的二进小波函数及性质

3．3 本章小结

第4章 非多项式S形函数构造的Meyer小波

4．1 引言

4．2 S形函数构造的Meyer小波

4．2．1 多项式型S形函数

4．2．2 三角函数型S形函数

4．2．3 非多项式型的S形函数

4．3 非多项式S形函数构造的Meyer小波函数的性质

4．4 Meyer小波函数的一种构造方法

4．4．1 频谱有限尺度函数的构造

4．4．2 Meyer小波函数的构造

4．5 S形函数在BP神经网络中的函数逼近

4．5．1 BP神经网络模型

4．5．2 函数逼近的仿真结果

4．6 本章小结

结论

参考文献

攻读学位期间发表的学术论文

致谢