矩阵线性组合的k−幂等性与对合性

摘要

k-幂等矩阵线性组合的保持问题是一个经久不衰的课题,它在科学与技术中有着广泛而又深刻的应用。统计学中的许多问题都可以归结为幂等矩阵的线性组合的保持问题,它在算子理论、抽象代数、物理学等领域都有相当广泛的应用。
　　本文在前人研究成果的基础上给出了几个有意义的新成果。
　　首先,利用“两个相乘可换的可对角化矩阵可同时相似对角化”的理论,对一般的k,给出了在矩阵相乘可换的条件下,矩阵的线性组合保k-幂等的一系列充要条件,并且可以确定,理论上,所有关于矩阵线性组合保k-幂等的问题均可以解决。但在某些实际研究中常需要将“矩阵相乘可换”这一约束条件去掉或者用一个更弱的条件去替代它,此时给出了在去掉此条件时,幂等矩阵的线性组合保三幂等的充要条件。其次,给出了任意k-幂等矩阵的一种正交幂等分解的具体表示形式,这一点很类似于矩阵的谱分解理论;之后利用此正交幂等分解定理,给出了几类特殊的k-幂等矩阵可以写成两个三幂等矩阵的具体形式。最后,对任意的k和l,探讨了两个k-幂等矩阵的线性组合保l-幂等的必要条件,并且不加证明地给出了矩阵线性组合保幂等的一个必要条件。此外在矩阵相乘可换的条件下,给出了一个幂等矩阵与(k+1)-幂等矩阵的线性组合为对合矩阵的充要条件。

目录

矩阵线性组合的k ?幂等性与对合性

k ?POTENCY AND INVOLUTIVITY ON LINEARCOMBINATION OF MATRICES

摘 要

Abstract

目 录

第1章 绪 论

1.1 课题背景与研究意义

1.2 相关领域研究现状与分析

1.3 重要概念及相关记号

1.4 本文主要研究内容

第2章 矩阵线性组合的 幂等性

2.1 矩阵乘积可换的情形

2.2 矩阵乘积未必可换的情形

2.3 本章小结

第3章 幂等阵的正交幂等分解与应用

3.1 幂等阵的正交幂等分解

3.2 正交幂等分解的应用

3.3 本章小结

第4章 矩阵线性组合的对合性

4.1 几类矩阵的线性组合是 幂等阵的必要条件

4.2 几类矩阵线性组合的对合性

4.3 本章小结

结 论

参考文献

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致 谢