广义Schur补可逆或为零的一些分块矩阵的Drazin逆表示

摘要

设矩阵A∈Cn×n，称满足r(Ak)=r(Ak+1)的最小非负整数k为A的指标，记为Ind(A)。设A∈Cn×n，Ind(A)=k，若X∈Cn×n满足矩阵方程AkXA=Ak，XAX=X，AX=XA则称X为A的Drazin逆，记为AD。
　　 矩阵的Drazin逆在奇异微分方程、马尔科夫链、最小二乘问题、数值分析等方面有重要应用，许多学者对此作了相应的研究.1977年，C.D.Meyer首先给出了上三角矩阵的Drazin逆表达式.1979年，C.D.Meyer提出了(ABCD)(A，D是方阵)的Drazin逆表达式的open问题，但至今尚未解决.1983年，Campbell以奇异微分系统为背景提出了分块矩阵(ABC0)的。DraZin逆表达式的open问题，此问题也没有被解决.近些年，学者们在一些特殊条件下研究了2×2分块矩阵(ABCD)的Drazin逆表达式。
　　 本文的1、2章简要介绍了广义逆的概况、意义、研究现状以及相关的基础知识.第3章给出了分块矩阵(ABCD)(A，D是方阵)在广义Schur补S=D-CADB可逆及下列之一条件下的Drazin逆表达式：(Ⅰ)BCAπ=0，BDCAπ=0，D2CAπ=0；(Ⅱ)BCAπB=0，DCAπB=0，DCAπA=0；(Ⅲ)AπBC=0，AπBDC=0，AπBD2=0；(Ⅳ)CAπA2=0，CAπBC=0，CAπBD=0，CAπAB=0；(Ⅴ)AπBD=0，AπBCA=0，BCAπB=0。
　　 第4章给出了(ABCD)(A，D是方阵)在满足下列条件之一下的Drazin逆表达式：(1)BCAπB=0，AπBCA=0且S=D-CADB=0；(2)ABCAπ=0，AπBCAπ=0且S=D-CADB=0；(3)ABCA=0，CBCA=0，A2BC=0，CABC=0且S=D-CADB=0；(4)CB=0，A2B=0，CAB=0。