两类非线性偏微分方程的高精度有限元分析

摘要

本论文主要利用混合有限元方法研究以下两个问题.在第一部分中，研究了具有热效应的Debye介质下的Maxwell's方程这一耦合模型的混合有限元方法，具体地，利用零阶Nédélec元(Q01×Q10)，分片常数空间Q0，及双线性元Q11，分别来逼近电场国E极化电场P，磁场H，及温度场u．借助于已有的高精度结果，平均值技巧及插值后处理技术，得到了此耦合模型在线性化向后Euler全离散格式下具有O(τ+h2)阶的超逼近估计和整体超收敛结果(其中h，τ是空间步长和时间步长，T=O(h1+γ)，γ＞0）．同时，给出了相应的数值算例，验证了理论分析的正确性和方法的有效性. 在第二部分中,针对拟线性Sobolev方程,利用双线性元Q11及零阶Raviart-Thomas(R-T)元(Q10×Q01),研究了其H1-Galerkin混合有限元方法的二重网格算法(TGM).类似第一部分的分析技巧,分别得出了向后Euler全离散格式下原始变量u在H1模和中间变量(p)=▽u在H(div)模意义下的超逼近估计和整体超收敛结果.同时,数值算例表明二重网格算法与传统的H1-Galerkin混合有限元方法相比,可以节省将近二分之一的计算量,从而说明所设计的二重网格算法的确是一种十分有效的高精度算法.

目录

声明

前言

第一章 预备知识

1.1 Sobolev 空间及一些常用不等式

1.2 有限元方法基本理论

第二章 Galerkin有限元方法的二重网格超收敛分析

2.1 引言

2.2 混合有限元的构造及变分问题

2.3 向后 Euler 全离散格式及超收敛分析

2.4 数值试验

第三章 Sobolev 方程新H1-Galerkin 混合有限元格式的二重网格算法

3.1 引言

3.2 H1-Galerkin 混合有限元的构造及性质

3.3 向后 Euler 全离散格式及超逼近分析

3.4 二重网格算法的超逼近和超收敛分析

3.5 数值试验

总结与展望

参考文献

致谢