一类奇异边值问题的Legendre谱配点方法

摘要

在气体动力学、流体力学、弹性过程及反应扩散过程等学科领域经常出现常微分方程奇异边值问题。通常采用区间分段法、基于非等距网格差分法或样条有限差分法等方法数值求解奇异边值问题。但这些方法所得数值解的精度不一定令人满意，因此需要研究常微分方程奇异边值问题的高精度方法。
　　本文主要研究具有正则奇点的常微分方程奇异边值问题，利用Legendre谱配点方法求其数值解，来逼近问题的正确解。
　　首先，在第二章中介绍Lagrange插值多项式、Legendre多项式及以Legendre-Gauss-Lobatto节点为配置点的微分矩阵等预备知识。
　　在第三章中，研究二阶线性和非线性常微分方程奇异边值问题的谱配置方法。对位于区间边界或内部的奇异点，用统一的算法格式来数值求解。数值试验结果证明所提算法格式的有效性和高精度。对非线性问题用Newton迭代预估不动点迭代的初值，加速了数值解的收敛速度。
　　在第四章中，研究高阶常微分方程奇异边值问题。由于p-阶微分算子的条件数为2O(N p)(N为配点个数)，所以将高阶方程通过降阶方法降为一阶微分方程组，再利用Legendre谱配点方法求其数值解，这样就改善了微分矩阵的条件数，使得算法的稳定性更好，而且当用迭代算法解所得到的线性方程组时，可以减少迭代次数。
　　最后是对本文的总结和展望。本文有关常微分方程奇异边值问题的谱配置方法丰富与发展了奇异边值问题的数值方法。文中使用的方法也可以用于其他问题，特别是非线性偏微分方程的数值解法。

目录

第1章 绪论

1.1课题来源

1.2课题研究的目的和意义

1.3国内外微分方程数值方法研究

1.4课题主要研究内容

第2章 预备知识

2.1 Lagrange插值多项式的简介

2.2 Legendre多项式的简介

2.3 Legendre-Gauss-Lobatto节点及微分矩阵

2.4常微分方程奇点的分类

第3章 二阶常微分方程奇异边值问题的谱配置方法

3.1引言

3.2线性常微分方程奇异边值问题的谱配置方法

3.3非线性常微分方程边值问题的谱配置方法

3.4结论

第4章 高阶常微分方程奇异边值问题的谱配置方法

4.1引言

4.2线性常微分方程组奇异边值问题的谱配置方法

4.3高阶常微分方程奇异边值问题的谱配置方法

4.4结论

第5章 结论与展望

参考文献

附录A 附录 部分MATLAB程序

致谢

攻读硕士学位期间的研究成果