有理数运算的理解水平及其教与学的策略研究

摘要

目前，国内外都在积极进行数学教育的改革与探索。改革的焦点之一是重视和强调“理解地学习数学”。强调“理解地学习数学”，就要明白什么是理解，就要知道理解有几个水平，就要清楚多少学生能够达到哪一个水平。事实上，我们对学生理解的现状、理解的层次性和有限性缺乏清楚的认识；进而，也就没有在了解学生理解的基础上选择相应的教与学的策略。 本论文以有理数运算作为载体，选取小数乘法、分数除法和有理数（负数）乘法作为研究的切入点，研究了“有理数运算的理解水平及其教与学的策略”，具体说来，研究了3个问题：（1）学生对有理数运算的理解达到怎样的水平；（2）学生达到某种理解水平的原因是什么；（3）基于学生的理解水平，有效的教与学的策略是什么。 研究按照以下过程展开。首先，选取实验学校和实验班级。然后，对要研究的内容，到课堂听课，进行课堂录音；授课结束后，对教师进行访谈；部分内容，我们还作了微型教学实验。再后，设计问卷，对师生进行调查；根据调查结果，进行访谈。最后，用定量的方法和定性的方法对收集到的数据进行分析。定量的方法主要是把师生的问卷调查进行编码，输入到数据库，用SPSS软件进行统计分析；定性的方法主要是对课堂教学、访谈进行个案分析。 通过研究，得到以下结论： 其一，学生对有理数运算的理解是有层次的、是有限的。（1）学生对运算意义的理解是有层次的。对小数乘法和分数除法而言，最容易获得的是由现实情境表征或者口头语言表征到书面符号表征的转化。其次，是由书面符号表征到口头语言表征的转化。再次，是用语言直接叙述运算的意义。最难获得的是口头语言表征到直观图像表征的转化。学生对有理数乘法意义的理解非常有限。（2）学生对运算（算理、法则）的理解是有层次的，是有限的，绝大部分学生都知道怎样算，而对怎样算背后的道理知之较少。最容易获得的是程序理解，90％左右的学生能够给出正确的运算结果。其次，是直观理解，30％左右的学生能够对运算结果的合理性进行直观的表征，与程序理解相比，有了很大的差距。比较难以获得的是抽象理解，20％左右的学生能够对运算结果的合理性进行抽象的解释。最难获得的是形式理解，不超过5％的学生对运算结果的合理性通过推理的方式进行了说明。纵向研究表明，除小数乘法外，高年级学生对运算意义、算理的理解没有发生显著性变化。 其二，导致学生达到以上理解水平的原因是多方面的。（1）从知识的角度而言。有的知识本身就是人类认识过程的飞跃，初学起来比较困难。（2）从教材的角度而言。知识的呈现方式和呈现顺序对学生的理解产生了直接影响，教材注重抽象的解释和算法化的程序操作，而对直观说明关注不够。（3）从教师的角度而言。教师对于运算的直观表征比较差。（4）从学生的角度而言。学生缺乏相关知识，倾向于程序化的解决问题的方式。 其三，基于学生的理解，对有理数运算，有效的教与学的策略包括：类比迁移（这是最重要的教学策略）；启发性的讲解，有意义的接受；模型说明，即例规教学方法；先做后说，积极前进；记忆与理解合理平衡；有指导的再发现；适度训练。 其四，在研究的基础上，提出了以下建议。（1）课程标准的制定。合理确定理解的层次，本研究对理解水平的界定和描述，即可以作为一个参考。（2）教材的编写。注重对直观的诉求；调整内容的安排顺序和呈现方式，建议把分数的意义放到小数乘法前面；明确界说什么是有理数乘法的意义和算理，给教师提供更多的课程资源。（3）教师的教学。从直观的角度表征问题，提升自身对运算的理解水平；处理好讲授与探究、理解与记忆、模型说明与形式证明、做与说、直观与程序的关系；呵护学生对数学的兴趣；关注学生错误理解的原因。 本研究的创新之处在于：在国内首先比较系统地研究了学生对有理数运算的理解，并给出了理解的水平层次；提出了相应的教与学的策略。其理论意义在于深化了对理解的认识，实践价值在于有利于制订合理的课程目标、教学目标，实施有效的教与学。

目录

文摘

英文文摘

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第1章导论

1.1研究的缘起

1.2研究的问题

1.3研究的意义

1.4论文的结构

第2章文献述评与研究思想框架的形成

2.1关于运算知识的特征

2.1.1数学的特征

2.1.2运算知识的特征

2.2关于理解

2.2.1理解的网络联系说

2.2.2理解的表征转化说

2.2.3理解的类型层次说

2.3关于有理数运算的理解

2.3.1有理数运算理解的维度

2.3.2什么是有理数运算的理解，怎样界定这种理解

2.3.3有理数运算研究概述

2.4关于有理数运算的教与学

2.4.1迁移

2.4.2从例子到规则的学习程序

2.4.3先做后说，积极前进：GX教学理论

2.4.4教与学的策略

2.5研究的思想框架

第3章研究的设计与过程

3.1样本

3.1.1城市

3.1.2学校

3.1.3学生

3.1.4教师

3.2研究工具

3.2.1问卷调查

3.2.2访谈

3.2.3听课

3.2.4工具的试验

3.3微型实验

3.4数据收集、处理与分析

3.4.1数据收集

3.4.2数据编码

3.4.3数据处理和分析

第4章研究结果（一）：小数乘法的理解

4.1小数乘法意义的理解

4.1.1正确的理解

4.1.2错误的理解及原因分析

4.1.3理解的水平

4.1.4从理解的网络联系说看学生的理解

4.2小数乘法运算的理解

4.2.1正确的理解

4.2.2错误的理解及原因分析

4.2.3理解的水平

4.3达到该理解水平的原因分析

4.3.1教师的理解

4.3.2教材的安排

4.3.3知识的呈现方式

4.3.4案例：学生对小数的理解

4.3.5学生对小数乘法的理解比较差，为什么学习可以进行下去

4.3.6小结

4.4纵向比较：6年级学生的理解水平显著性提高

4.4.1小数乘法意义的理解

4.4.2小数乘法运算的理解

4.4.3小结

4.5教与学的策略

4.5.1教师所选择的教与学业的策略

4.5.2分析与反思

4.5.3小结

4.6结论

4.6.1理解的层次性和有限性

4.6.2原因

4.6.3 6年级学生的理解水平显著性提高

4.6.4教与学的策略

4.6.5建议

第5章研究结果（二）：分数除法的理解

5.1分数除法意义的理解

5.1.16年级学生对分数除法意义的理解

5.1.27年级学生对分数除法意义的理解：不升反降

5.1.3小结

5.2分数除法运算的理解

5.2.1正确的理解

5.2.2错误的理解及原因分析

5.2.3理解的水平

5.3达到该理解水平的原因分析

5.3.1教师的理解

5.3.2教材的安排

5.3.3教师教学中使用的推导运算法则的模型

5.3.4案例：学生对分数基本性质的理解

5.3.5教师、学生解决问题的倾向性研究：程序化的，抽象的，形式化的

5.3.6小结

5.4纵向比较：7年级学生对分数除法运算的理解没有发生显著性变化

5.4.1分数除法运算的理解概述

5.4.2与6年级学生相比，对运算的理解没有发生显著性变化

5.4.3与6年级学生相比，做文字题的正确率没有发生显著性变化

5.4.4小结

5.5教与学的策略

5.5.1教师所选择的教与学的策略

5.5.2教师的实际教学策略：类比迁移，有指导的再发现

5.5.3对付老师的访谈：最后就是一句话“颠倒相乘”

5.5.4小结

5.6结论

5.6.1理解的层次性、有限性

5.6.2原因

5.6.37年级学生的理解水平没有提高

5.6.4教与学的策略

5.6.5建议

第6章研究结果（三）：有理数（负数）乘法的理解

6.1有理数乘法意义的理解

6.1.1正确的理解

6.1.2错误的理解及原因分析

6.1.3教师对有理数乘法意义的理解

6.1.4有理数乘法的意义是什么

6.2有理数乘法运算的理解

6.2.1正确的理解

6.2.2错误的理解及原因分析：学生说服自己接受负负得正的方法是什么

6.2.3理解的水平

6.2.4小结

6.3纵向比较：对有理数乘法运算的理解不升反降

6.4“负负得正”难以理解的原因分析

6.4.1案例：为什么就负负得正了

6.4.2负负得正难以理解的原因分析

6.4.3小结

6.5“负负得正”能够接受的原因分析

6.5.1教师的角度：模型说明不是证明，负负得正无须证明，模型说明即可

6.5.2学生的角度：保持运算的持续性，学习的迁移性的归纳性

6.5.3小结

6.6模型说明

6.6.1不同的模型对学生的理解没有显著性影响--一项微型教学实验

6.6.2教师实际教学中使用的模型：数轴模型，归纳模型，相反数模型

6.6.3教师喜欢的模型：归纳模型，数轴模型，相反数模型

6.6.4学生喜欢的模型：好孩子模型，数轴模型，归纳模型

6.6.5比较：数轴模型、相反数模型、归纳模型得到师生的认可

6.6.6对模型的评价

6.6.7小结

6.7教与学的策略

6.7.1教师实际的教与学的策略

6.7.2教师所选择的教与学的策略

6.7.3小结

6.8结论

6.8.1对有理数乘法的理解：理解非常有限

6.8.2难以理解的原因：超越经验，难以证明

6.8.3接受的原因：学习的迁移性，例规教学的合理性

6.8.4对负负得正的教学：模型说明的方法

6.8.5教与学的策略：教师讲解，学生接受，练习

6.8.6建议

第7章结论、建议与反思

7.1运算意义的理解

7.1.1描述性的层次

7.1.2纵向看理解的变化

7.2运算（算理、法则）的理解

7.2.1量化的层次

7.2.2描述性的层次

7.2.3纵向看理解的变化

7.2.4怎一个“计算”了得

7.3理解有限性、层次性的原因

7.4教与学的策略

7.5建议

7.5.1对课程标准制定者的建议：合理地确定理解的层次

7.5.2对教材编写者的建议

7.5.3对教师的建议

7.5.4教与学不能游离文化境脉

7.6本研究的不足

7.7进一步研究的问题

参考文献

附录

后记