受极大子群影响的群的若干基本性质

摘要

本文主要通过对含极大子群为单群的群的研究，探讨了群的单性．另外，也通过群的某些特殊极大子群对群的可解性作了一些研究．值得说明的是，我们这里并不限定群的有限性．主要结论如下： 关于群的单性的结论定理3．1设群G的任-极大子群都是单群，若G中存在一个非正规极大子群满足性质，那么G是单群．(我们称群G满足性质是指存在XG，使得G=)，且存在x<,0>∈X，使得1≠)≠G.)定理3．2设G为有限生成群，如果群G的任-极大子群都是非正规的单群，那么G是单群． 定理3．3设群G的极大子群都非正规，且极大子群要么为单群要么为幂零群，并且两者都存在，如果其中有一个幂零极大子群为有限群，那么G为单群． 定理3．4设群G的极大子群都非正规，且极大子群要么为单群要么为幂零群，如果其中有一个幂零极大子群为有限生成群、有一个单极大子群为周期群，那么G为单群． 定理3．5设群G的极大子群都非正规，且极大子群妥么为单群要么为幂零群，如果其中有一个幂零极大子群M和一个单极大子群R使得R ∩ M per M，那么G为单群． 推论3．3群G的每一个极大子群都是素数阶群的充要条件是G为Tarski群或pq阶群(允许p=q)．定理3．6H是群G的非正规单极大子群，如果H中存在非平凡的元素h<,1>，h<,2>在G中共轭但在H中不共轭，那么G为单群． 定理3．7H是群G的单极大子群且H非正规，如果｜G:H｜≤mini{｜g<'G>｜≠g∈G}，那么G是单群． 关于群的可解性的结论定理4．1．设G恰有n个极大子群且都是G的正规子群，那么G只能是有限群，当然G为幂零群． 定理4．2群G=，g<,2>，…，g<,n>>，那么群G的极大子群均正规且对每个g<,i>而言与其在G中共轭的元在其所在的极大子群中也共轭的充要条件是G为Abel群． 定理4．3若群G是有限生成的，且群G的每个极大子群均可解，则G可解的充分必要条件是： 1) G仅有一个极大子群；或者2)Frat(G)不是极大正规子群定理4．4有限群G的所有极大子拜均可解，如果G有一个正规子群N满足：存在素数p使得｜G｜<,p>=｜N｜<,p>，那么群G可解． 定理4．5群G的任一极大子群均幂零，如果存在一个极大子群为有限指数，那么G可解．

目录

文摘

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§1引言

§2预备引理

§3极大子群与群的单性

§4极大子群与群的可解性

§5极大子群与群的其它性质

参考文献

致谢