基于无网格伽辽金法的三维集成微系统电热协同计算方法

摘要

本发明公开了一种基于无网格伽辽金法的三维集成微系统电热协同计算方法，包括：基于三维集成微系统模型建立背景积分网格，利用网格及边界信息建立积分点；寻找求解域内的积分点，确定积分点所在的支持域的场节点；计算每个积分点处的形函数以及其导数；基于形函数以及其导数，得到边界处的温度刚度矩阵和节点热载荷矩阵及基础温度刚度矩阵、基础节点热载荷矩阵；在基础温度刚度矩阵、基础节点热载荷矩阵中加入电热耦合项，得到离散域内的温度刚度矩阵和节点热载荷矩阵；根据边界处的温度刚度矩阵和节点热载荷矩阵、离散域内的温度刚度矩阵和节点热载荷矩阵得到三维集成微系统模型的温度场。本发明消除了网格形状对求解结果的影响，保证了精度。

说明书

技术领域

本发明属于微电子和三维热分析数值计算领域，具体涉及一种基于无网格伽辽金法的三维集成微系统电热协同计算方法。

背景技术

微系统集成技术的发展为电子产品的性能带来了许多颠覆性的进步，具有集成度高、互连线短、高可靠性和功耗低等优点，但随着集成技术的发展，三维集成微系统的发展面临一些难题，如多芯片堆叠导致功率增加，冷却效率降低，使得集成电路中的温度升高。随着温度的变化，在传热过程中材料的热导率和电导率会同时改变，从而对热点温度产生影响，局部热点对诸如泄露电流、电迁移、信号和电源完整性等电设计提出了诸多挑战，极大程度降低了芯片的性能、可靠性以及使用寿命。并且，随着集成密度的不断增加，热问题会变得更加严重。综上所述，对高功耗三维集成微系统在设计初期进行电热耦合分析在确保系统可靠性方面具有至关重要的作用。

不仅如此，三维集成微系统中从封装基板到RDL层，包含了从纳米到毫米的多种几何尺度，常用的有限元分析法为了在微系统中划分网格，通常采用两种方式：1、缩小网格尺寸；2、以不规则的形状适应多尺度的几何体。前者导致网格剖分密集，加大了多物理场耦合计算的运算量，提高了时间成本；后者会影响电热耦合计算精度，产生较大误差。

因此，寻找一种适应三维集成微系统多几何尺度的电热协同计算方法成为重点。

发明内容

为了解决现有技术中所存在的上述问题，本发明提供了一种基于无网格伽辽金法的三维集成微系统电热协同计算方法。

本发明要解决的技术问题通过以下技术方案实现：

一种基于无网格伽辽金法的三维集成微系统电热协同计算方法，所述三维集成微系统电热协同计算方法包括：

步骤1、获取三维集成微系统模型的各场节点信息；

步骤2、基于所述三维集成微系统模型建立背景积分网格，利用网格及边界信息建立积分点，并计算背景网格内积分点的信息，所述积分点的信息包括积分点的坐标和积分点的权重；

步骤3、寻找处于求解域内的积分点，并确定每个积分点所在的支持域内的场节点；

步骤4、计算每个积分点处的形函数以及其导数；

步骤5、基于所述形函数以及其导数，计算边界处的温度刚度矩阵和节点热载荷矩阵，以及计算每个积分点对温度刚度矩阵和节点载荷矩阵的贡献，得到基础温度刚度矩阵、基础节点热载荷矩阵；

步骤6、基于温度对所述三维集成微系统模型的影响，在基础温度刚度矩阵、基础节点热载荷矩阵中加入电热耦合项，得到离散域内的温度刚度矩阵和节点热载荷矩阵；

步骤7、基于热传导控制方程，根据边界处的温度刚度矩阵和节点热载荷矩阵、以及离散域内的温度刚度矩阵和节点热载荷矩阵得到所述三维集成微系统模型的温度场。

可选地，所述步骤1包括：

步骤1.1、获取所述三维集成微系统模型；

步骤1.2、将所述三维集成微系统模型进行场节点离散，得到所述各场节点信息，所述各场节点信息包括：场节点总数、场节点编号、场节点坐标、场节点间距。

可选地，所述步骤2包括：

步骤2.1、基于所述三维集成微系统模型建立所述背景积分网格，其中，所述背景积分网格覆盖所述三维集成微系统模型，所述背景积分网格包括若干成矩阵形式排布的网格点；

步骤2.2、在每个背景网格内，以一维方向上积分点的数量为依据，利用高斯函数确定积分点的权重，并根据一个背景网格内相邻两个网格点之间的距离和积分点的权重的乘积得到积分点的坐标；

步骤2.3、寻找所述三维集成微系统模型边界处的场节点，并以该场节点为基准，在场节点边界对应的背景网格内，按照处于边界处的积分点的权重确定处于边界处的积分点的坐标。

可选地，所述步骤4包括：

步骤4.1、在支持域内，构造场函数，场函数为：

其中，u(x)为场函数，a(x)为m维系数矢量，a

步骤4.2、在求解域内，根据所述场函数构造加权离散平方和J，所述加权离散平方和J为：

其中，ω

步骤4.3、根据所述加权离散平方和J的最小值得到线性方程，所述线性方程为：

a(x)＝A

其中，A(x)为第一矩阵，B(x)为第二矩阵，u

u

步骤4.4、根据所述第一矩阵和所述第二矩阵得到形函数；

步骤4.5、根据所述形函数得到所述形函数的导数。

可选地，所述步骤4.4包括：

根据所述基函数的转置、所述第一矩阵和所述第二矩阵得到形函数的转置，所述形函数的转置为：

Φ

其中，Φ(x)为形函数。

可选地，所述步骤4.4包括：

步骤4.41、对所述第一矩阵进行LU分解，得到分解后的结果；

步骤4.42、根据所述第一矩阵、所述分解后的结果和所述场函数得到辅助矩阵；

步骤4.43、根据所述辅助矩阵的转置和所述第二矩阵得到所述形函数。

可选地，所述步骤5包括：

步骤5.1、基于所述形函数以及其导数，得到基础温度刚度矩阵、基础节点热载荷矩阵；

所述基础温度刚度矩阵为：

所述基础节点热载荷矩阵为：

f

其中，k

步骤5.2、基于所述形函数以及其导数，根据Dirichlet边界条件、Neumann边界条件或Robin边界条件得到边界处的温度刚度矩阵和节点热载荷矩阵；

基于所述Dirichlet边界条件的边界处的温度刚度矩阵和节点热载荷矩阵分别为：

其中，K

基于所述Neumann边界条件的边界处的节点热载荷矩阵为：

其中，F

基于所述Robin边界条件的边界处的温度刚度矩阵和节点热载荷矩阵为：

其中，K

可选地，所述离散域内的温度刚度矩阵和节点热载荷矩阵分别为：

K

F

其中，K

可选地，所述步骤7包括：

步骤7.1、根据环境温度和输入功耗得到温度场T

步骤7.2、根据当前温度下的温度刚度矩阵K

步骤7.3、比较温度场T

与现有技术相比，本发明的有益效果：

本发明提供一种基于伽辽金法的三维集成微系统电热耦合分析方法，通过将求解域离散成为场节点，建立背景积分网格、积分点，计算网格内积分点的权重和雅各布矩阵，逐步求出场节点的形函数值、整体温度刚度矩阵、整体节点载荷矩阵，以及边界上的刚度矩阵和载荷矩阵，最后建立传热方程。基于温度对电场和材料特性的协同影响，在传热方程中加入与温度有关的耦合项，实现电热耦合。本发明与有限元法相比，消除了网格形状对求解结果的影响，并保证了计算精度，可更好适用于具有多尺度特征的三维集成微系统。

以下将结合附图及对本发明做进一步详细说明。

附图说明

图1是本发明实施例提供的一种基于无网格伽辽金法的三维集成微系统电热协同计算方法的流程示意图；

图2是本发明实施例提供的另一种基于无网格伽辽金法的三维集成微系统电热协同计算方法的流程图；

图3是本发明实施例提供的背景积分网格示意图；

图4是本发明实施例提供的高频条件下TSV等效电路图；

图5是本发明实施例提供的获得三维集成微系统温度场的流程图。

具体实施方式

下面结合具体实施例对本发明做进一步详细的描述，但本发明的实施方式不限于此。

实施例一

请参见图1和图2，图1是本发明实施例提供的一种基于无网格伽辽金法的三维集成微系统电热协同计算方法的流程示意图；图2是本发明实施例提供的另一种基于无网格伽辽金法的三维集成微系统电热协同计算方法的流程图，本发明提供一种基于无网格伽辽金法的三维集成微系统电热协同计算方法，该三维集成微系统电热协同计算方法包括：

步骤1、获取三维集成微系统模型的各场节点信息，其中，各场节点信息包括：场节点总数、场节点编号、场节点坐标、场节点间距，场节点间距为相邻两节点之间的间距。

步骤1.1、获取三维集成微系统模型。

可以理解，三维集成微系统模型的构建过程与现有技术相同，此处不再赘述。

步骤1.2、将三维集成微系统模型进行场节点离散，得到各场节点信息。

步骤2、基于三维集成微系统模型建立背景积分网格，利用网格及边界信息建立积分点，并计算背景网格内积分点的信息，积分点的信息包括积分点的坐标和积分点的权重，积分点的信息还包括积分点的总数、每个背景网格内积分点的个数、积分点所在背景网格的编号。

在本实施例中，背景积分网格及边界信息包括：网格点总数、网格点编号、网格点坐标、网格总数、网格点组成网格的连接方式、网格编号、边界网格点坐标、边界点网格编号。

其中，积分权重决定每个网格中各积分点所起的不同影响作用，如图3所示，蓝色圆圈为背景网格点，红色＊形为积分点，距离网格点远的节点影响作用较小，而近处的节点影响作用较大，背景网格中积分点的权重是一个固定值。

在一个具体实施例中，步骤2具体可以包括：

步骤2.1、基于三维集成微系统模型建立背景积分网格，其中，背景积分网格覆盖三维集成微系统模型，背景积分网格包括若干成矩阵形式排布的网格点。

具体的，背景积分网格为六面立方体(即正方体)形式的背景积分网格，背景积分网格由多个背景网格组成，每个背景网格由6个网格点连接而成，相邻两个网格点之间的间距为场节点间距的2～3倍。

步骤2.2、在每个背景网格内，以一维方向上积分点的数量为依据，利用高斯函数确定积分点的权重，并根据一个背景网格内相邻两个网格点之间的距离和积分点的权重的乘积得到积分点的坐标。

具体的，首先设定一维方向上积分点的数量，然后在高斯曲线中查找相应个数下，每个积分点对应的权重值，由此可以确定每个积分点的权重，之后，对于一个背景网格内，根据相邻两个网格点之间的距离和积分点的权重的乘积得到乘积结果，并将该乘积结果作为该积分点的坐标。

可选的，每个背景网格内，一维方向上划分3～9个积分点。

步骤2.3、寻找三维集成微系统模型边界处的场节点，并以该场节点为基准，在场节点边界对应的背景网格内，按照处于边界处的积分点的权重确定处于边界处的积分点的坐标，即对于该背景网格，利用其中相邻两个网格点之间的距离和积分点的权重的乘积得到处于边界处的积分点的坐标。

步骤3、寻找处于求解域内的积分点，并确定每个积分点所在的支持域内的场节点。

在本实施例中，求解域为以场节点为圆心，以所在的背景网格内的场节点的平均间距为半径做圆得到的区域，支持域为以所在的背景网格内的积分点为圆心，以积分点的平均间距为半径做圆得到的区域，平均间距为相邻两点间的间距的平均值。

其中，支持域内场节点的信息包括：场节点的编号、场节点的坐标。

在一个具体实施例中，步骤3具体可以包括：

步骤3.1、确定每个场节点对应的求解域大小以及求解域的形状。

步骤3.2、遍历积分点，若积分点在求解域内，寻找场节点与积分点距离小于支持域半径的场节点。

步骤4、计算每个积分点处的形函数以及其导数。

步骤4.1、在支持域内，构造场函数。

形函数的构造方法为移动最小二乘法，在求解域Ω内，假设场函数u(x)在n个节点上的场值u已知，即：

u

其中，u(x

在所计算的场节点的支持域内，构造场函数的近似形式为：

其中，u(x)为场函数，a(x)为m维系数矢量，a

步骤4.2、在求解域内，根据场函数构造加权离散平方和J，加权离散平方和J为：

其中，ω

步骤4.3、根据加权离散平方和J的最小值得到线性方程，线性方程为：

a(x)＝A

其中，A(x)为第一矩阵，B(x)为第二矩阵，u

第一矩阵A(x)为：

第二矩阵B(x)为：

第一矩阵A(x)为m×m维的方阵，第二矩阵B(x)为m×n矩阵，将a(x)带入场函数的近似表达式。可得：

其中，Φ

步骤4.4、根据第一矩阵和第二矩阵得到形函数。

本发明提供了两种形函数的方法，下面将对该两种方法进行说明。

第一种方法为：

根据基函数的转置、第一矩阵和第二矩阵得到形函数的转置，形函数的转置为：

Φ

其中，Φ(x)为形函数。

第二种方法为：

步骤4.41、对第一矩阵进行LU分解，得到分解后的结果，即A＝LU。

步骤4.42、根据第一矩阵、分解后的结果和场函数得到辅助矩阵。

A(x)c(x)＝p(x)

c(x)＝U

其中，c(x)为辅助矩阵。

步骤4.43、根据辅助矩阵的转置和第二矩阵得到形函数，形函数为：

Φ(x)＝c

步骤5、基于形函数以及其导数，计算边界处的温度刚度矩阵和节点热载荷矩阵，以及计算每个积分点对温度刚度矩阵和节点载荷矩阵的贡献，得到基础温度刚度矩阵、基础节点热载荷矩阵。

其中，稳态传热的基本控制方程为：

步骤5.1、基于形函数以及其导数，得到基础温度刚度矩阵、基础节点热载荷矩阵。

具体的，选取温度的变分为检验函数，并利用加权残量法，可得稳态传热的伽辽金离散控制方程中的基础温度刚度矩阵、基础节点热载荷矩阵。

基础温度刚度矩阵为：

基础节点热载荷矩阵为：

f

其中，k

步骤5.2、基于形函数以及其导数，根据Dirichlet边界条件、Neumann边界条件或Robin边界条件得到边界处的温度刚度矩阵和节点热载荷矩阵。

Dirichlet传热边界为：

则基于Dirichlet边界条件的边界处的温度刚度矩阵和节点热载荷矩阵分别为：

其中，K

Neumann传热边界为：

则基于Neumann边界条件的边界处的节点热载荷矩阵为：

其中，F

基于所述Robin边界条件的边界处的温度刚度矩阵和节点热载荷矩阵为：

其中，K

步骤6、基于温度对三维集成微系统模型的影响，在基础温度刚度矩阵、基础节点热载荷矩阵中加入电热耦合项，得到离散域内的温度刚度矩阵和节点热载荷矩阵，其中，离散域为离散的三维集成微系统模型。

具体的，温度在微系统电热耦合过程中的影响主要表现在两个物理量，材料热导率和电导率，两个物理量均基于温度插值系数计算，即：

其中，K(T)为热导率，c

根据图4所示的三维集成互连结构的等效电路，TSV仅包含电阻、电容和电感，为纯电阻电路，高频电路下流经TSV的功耗为：

其中，P(T)为功耗，V

因此，离散域内的温度刚度矩阵和节点热载荷矩阵为：

K

F

其中，K

步骤7、基于热传导控制方程，根据边界处的温度刚度矩阵和节点热载荷矩阵、以及离散域内的温度刚度矩阵和节点热载荷矩阵得到三维集成微系统模型的温度场。

在一个具体实施例中，请参见图5，步骤7可以包括：

步骤7.1、根据环境温度和输入功耗得到温度场T

具体的，首先输入环境温度和输入功耗，得到当前的温度场T

步骤7.2、根据当前温度下的温度刚度矩阵K

步骤7.3、比较温度场T

为了应对三维微系统中结构尺寸差异大、有限元分析耗时长的问题，伽辽金方法通过将求解域离散成为场节点，建立背景积分网格、积分点的方式，避免网格划分的过程，从而提高计算效率。并且，计算网格内积分点的权重和雅各布矩阵，逐步求出场节点的形函数值、整体温度刚度矩阵、整体节点载荷矩阵，以及边界上的刚度矩阵和载荷矩阵，最后建立传热方程。基于温度对电场和材料特性的协同影响，在传热方程中加入与温度有关的耦合项，实现电热耦合。本发明与有限元法相比，消除了网格形状对求解结果的影响，并保证了计算精度，可更好适用于具有多尺度特征的三维集成微系统。

本发明相比于有限元方法能够快速进行三维集成微系统电热协同计算，能够满足三维集成微系统任意几何尺度结构的电热协同分析。同时，本发明具有与有限元法相似的精度，满足电热耦合分析的精度需求。另外，相比于有限元法，微系统结构几何尺寸相差越大，本发明所需的运算时间越短，能够在很大程度上节约时间成本、利用计算资源，有效实现三维集成微系统多尺度结构的电热协同分布计算。

需要说明的是，术语“第一”、“第二”仅用于描述目的，而不能理解为指示或暗示相对重要性或者隐含指明所指示的技术特征的数量。由此，限定有“第一”、“第二”的特征可以明示或者隐含地包括一个或者更多个特征。在本发明的描述中，“多个”的含义是两个或两个以上，除非另有明确具体的限定。

在本说明书的描述中，参考术语“一个实施例”、“一些实施例”、“示例”、“具体示例”、或“一些示例”等的描述意指结合该实施例或示例描述的具体特征或者特点包含于本发明的至少一个实施例或示例中。在本说明书中，对上述术语的示意性表述不必须针对的是相同的实施例或示例。而且，描述的具体特征或者特点可以在任何的一个或多个实施例或示例中以合适的方式结合。此外，本领域的技术人员可以将本说明书中描述的不同实施例或示例进行接合和组合。

尽管在此结合各实施例对本发明进行了描述，然而，在实施所要求保护的本发明过程中，本领域技术人员通过查看所述附图以及公开内容，可理解并实现所述公开实施例的其他变化。在说明书中，“包括”一词不排除其他组成部分或步骤，“一”或“一个”不排除多个的情况。相互不同的实施例中记载了某些措施，但这并不表示这些措施不能组合起来产生良好的效果。

以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明所作的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施只局限于这些说明。对于本发明所属技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干简单推演或替换，都应当视为属于本发明的保护范围。