一种指数不确定切换时滞系统的稳定性分析方法及系统

摘要

本发明公开了一种指数不确定切换时滞系统的稳定性分析方法及系统，设计了一种基于能量衰减原理的新型状态依赖切换策略，通过求解其稳定性条件得出了系统所能容许的最大时滞。首先，基于能量衰减原理设计了一种状态依赖的切换策略。其次，构造泛函，基于广义自由矩阵积分不等式方法、Jensen’s不等式方法和二次函数负定引理，给出并证明了指数不确定切换时滞系统渐进稳定的充分条件。最后，通过仿真例子验证了所设计的切换策略的有效性与所得稳定条件的正确性。本发明所设计的切换策略及其稳定条件适用于具有复杂切换动态特性、状态空间延迟动态特性和不确定性干扰的控制系统，具有较大的理论与实际应用价值。

说明书

技术领域

本发明属于复杂系统建模与控制领域，特别涉及一种指数不确定切换时滞系统的稳定性分析方法及系统。

背景技术

切换系统作为一类特殊的混杂系统，由一系列连续或离散子系统与支配这些子系统运行的切换策略所组成。随着信息技术、复杂性科学的飞速发展，时滞、不确定性使得切换动态控制系统变得越来越复杂。

近年来，切换时滞系统由于其广泛的应用已引起诸多学者的关注，比如网络控制系统、电力电子系统等。所谓切换时滞系统是指在切换系统的子系统中存在时滞部分。切换时滞系统不同于一般的切换动态系统，原因在于在切换时滞系统中同时存在切换动态与状态空间延迟动态。因此，如何设计合适的切换策略和降低时滞对系统的影响，让系统保持较好的稳定性能是切换时滞系统的研究重点。一方面，目前在关于切换时滞系统的相关研究成果中，大多都是假设在时滞大小已知的情况下去获得系统稳定的充分条件，而少有文献去求解系统所能容许的最大时滞，也即时滞上界。仅有少数文献求得时滞上界但其稳定或镇定条件的保守性还较大，也即系统所能容许的最大时滞较小。另一方面，在现有的关于切换动态系统的研究成果中，同时考虑不确定性与时滞的研究成果也较少，而不确定性与时滞又普遍存在于实际系统当中。因此，对具有不确定性的切换时滞系统的研究具有重要意义。

相较于无时滞、无不确定性的切换动态系统，不确定切换时滞系统中不仅有复杂的切换动态与状态空间延迟动态，而且还受到不确定因素的干扰。因此，如何构造一个合适的泛函和切换策略对于不确定切换时滞系统的分析与控制至关重要。目前，关于时滞系统泛函的构造已有了较多发展成熟的方法，比如时滞分割型泛函、增广型泛函等。这些方法应用于切换时滞系统将能从很大程度上丰富复杂系统理论。此外，关于切换策略的设计也有了较多经典的方法，比如驻留时间方法、平均驻留时间方法、持续驻留时间方法等。但这些方法都有一定的局限性，例如对于一些内部结构或性质可能发生随机突变的系统，驻留时间方法与平均驻留时间方法将不再适用。近几年，由相关学者提出的持续驻留时间方法同时包含了驻留时间方法和平均驻留时间方法，但在该方法下系统的切换次数在有限时间间隔内会受到限制，对于一些需要频繁切换的复杂系统，该方法将不再适用。因此，需要提出一种新型的切换方法并且在时滞与不确定性的影响下得到系统稳定的充分条件，通过求解其充分条件得出系统所能容许的最大时滞。本发明提出了一种基于能量衰减的新型状态依赖切换策略。在该切换策略下，通过构造泛函，利用广义自由矩阵积分不等式方法和Jensen’s不等式方法给出并证明了系统渐进稳定的充分条件。本发明所设计的切换策略与系统的稳定条件适用于同时具有复杂切换动态特性、状态空间延迟动态特性以及不确定性干扰的控制系统，对于复杂系统的建模与控制具有十分重要的现实意义。

发明内容

鉴于此，为了拓展切换动态系统的研究以及针对现有切换方法的不足，本发明提出一种指数不确定切换时滞系统的稳定性分析方法及系统，设计了一种新型的状态依赖切换策略。在该切换策略下，通过构造泛函，利用广义自由矩阵积分不等式方法、Jensen’s不等式方法和二次函数负定引理得出了指数不确定切换时滞系统渐进稳定的充分条件，通过求解其充分条件得到了系统所能容许的最大时滞。

本发明通过以下技术手段解决上述问题：

第一方面，本发明提供一种指数不确定切换时滞系统的稳定性分析方法，包括如下步骤：

步骤一、给出指数不确定切换时滞系统的状态空间表达式；

步骤二、基于指数不确定切换时滞系统的状态空间表达式，结合能量衰减原理设计状态依赖的切换策略；

步骤三、在所设计的切换策略下证明指数不确定切换时滞系统渐进稳定；

步骤四、通过仿真例子验证所设计的切换策略的有效性与系统稳定条件的正确性。

作为优选地，步骤一中，给出指数不确定切换时滞系统的状态空间表达式为：

上式中t为连续时间变量，

根据凸组合引理与指数矩阵性质

此处，

此处，h为常数，I为单位矩阵，B

ΔA

作为优选地，步骤二中，设计一种基于能量衰减的状态依赖的切换策略，在该切换策略下，系统根据子系统的能量值来选择下一时刻的运行模态，具体包含如下子步骤：

步骤2-1、考虑如下第i个指数不确定切换时滞系统：

假设存在一个

此处，

步骤2-2、当系统存在指数不确定性时，该切换区域变为：

当指数不确定切换时滞系统的状态轨迹运动到切换区域边界上时，系统容易发生快切换现象；

步骤2-3、为了避免快切换现象，构造如下切换区域：

上述切换域中ξ＞1为常数，因此，不等式右边将增大；这意味着将会有更多的系统状态会满足上述条件，即切换区域将变大产生交叠区域；因此，

步骤2-4、针对指数不确定切换时滞系统，提出如下切换策略：

上式中令

作为优选地，步骤三中，构造一种包含三重积分项的泛函，利用广义自由矩阵积分不等式方法、Jensen’s不等式方法和二次函数负定引理处理系统中的时滞部分来证明指数不确定切换时滞系统渐进稳定；具体步骤如下：

步骤3-1、首先定义如下李雅普诺夫克拉索夫斯基泛函：

V

其中

V

上式中P,Q

步骤3-2、对上述泛函求导得：

利用广义自由矩阵积分不等式方法与Jensen’s不等式方法，得到

步骤3-3、由上获得：

通过二次函数负定引理得

作为优选地，步骤三之后，还包括如下步骤：

通过如下线性矩阵不等式求解指数不确定切换时滞系统所容许的最大时滞：

H

其中

e

E

上式中P,Q

第二方面，本发明提供一种指数不确定切换时滞系统的稳定性分析系统，包括：

表达式给出模块，用于给出指数不确定切换时滞系统的状态空间表达式；

切换策略设计模块，用于基于指数不确定切换时滞系统的状态空间表达式，结合能量衰减原理设计状态依赖的切换策略；

渐进稳定证明模块，用于在所设计的切换策略下证明指数不确定切换时滞系统渐进稳定；

正确性验证模块，用于通过仿真例子验证所设计的切换策略的有效性与系统稳定条件的正确性。

作为优选地，给出指数不确定切换时滞系统的状态空间表达式为：

上式中t为连续时间变量，

根据凸组合引理与指数矩阵性质

此处，

此处，h为常数，I为单位矩阵，B

ΔA

作为优选地，基于能量衰减原理设计状态依赖的切换策略中，设计一种基于能量衰减的状态依赖的切换策略，在该切换策略下，系统根据子系统的能量值来选择下一时刻的运行模态，具体包含如下子步骤：

步骤2-1、考虑如下第i个指数不确定切换时滞系统：

假设存在一个

此处

步骤2-2、当系统存在指数不确定性时，该切换区域变为：

当指数不确定切换时滞系统的状态轨迹运动到切换区域边界上时，系统容易发生快切换现象；

步骤2-3、为了避免快切换现象，构造如下切换区域：

上述切换域中ξ＞1为常数，因此，不等式右边将增大，这意味着将会有更多的系统状态会满足上述条件，即切换区域将变大产生交叠区域；因此

步骤2-4、针对指数不确定切换时滞系统，提出如下切换策略：

上式中令

第三方面，本发明提供一种电子设备，包括存储器、处理器及存储在存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，所述处理器执行所述程序时实现如本发明第一方面所述的指数不确定切换时滞系统的稳定性分析方法的步骤。

第四方面，本发明提供一种非暂态计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，该计算机程序被处理器执行时实现如本发明第一方面所述的指数不确定切换时滞系统的稳定性分析方法的步骤。

与现有技术相比，本发明的有益效果至少包括：

本发明以指数不确定切换时滞系统作为研究对象。首先，设计了一种基于能量衰减的状态依赖切换策略。该切换策略不用构造系统状态的切换区域，系统根据子系统的能量值切换到下一模态。该切换策略能很好地避免快切换现象，在该切换策略下系统的切换次数没有限制。其次，通过构造泛函并利用广义自由矩阵积分不等式方法、Jensen’s不等式方法和二次函数负定引理得到了指数不确定切换时滞系统渐进稳定的充分条件。通过求解充分条件得到了系统所容许的最大时滞。本发明所设计的切换策略与所得稳定条件适用于具有复杂切换动态特性、状态空间延迟动态特性以及不确定性干扰的系统，具有较大的理论与实际应用价值。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例中的技术方案，下面将对实施例描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明指数不确定切换时滞系统的稳定性分析方法的流程图；

图2为文献1所构造的切换域示意图；

图3为文献2所构造的切换域示意图；

图4为本发明改进设计的切换示意图；

图5为系统具有常数时滞时的切换信号；

图6为系统具有常数时滞时的状态响应；

图7为系统具有时变时滞时的切换信号；

图8为系统具有时变时滞时的状态响应；

图9为本发明指数不确定切换时滞系统的稳定性分析系统的结构图；

图10是本发明电子设备结构框图。

具体实施方式

为使本发明的上述目的、特征和优点能够更加明显易懂，下面将结合附图和具体的实施例对本发明的技术方案进行详细说明。需要指出的是，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例，基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

实施例1

针对指数不确定切换时滞系统设计的切换策略与得到的系统渐进稳定的充分条件，本发明提供一种指数不确定切换时滞系统的稳定性分析方法，如图1所示，包括以下步骤：

步骤一、给出指数不确定切换时滞系统的状态空间表达式。

上式中t为连续时间变量，

根据凸组合引理与指数矩阵性质

此处，

此处，h为常数，I为单位矩阵，B

ΔA

步骤二、基于指数不确定切换时滞系统的状态空间表达式，结合能量衰减原理设计状态依赖的切换策略。

考虑如下第i个无不确定性的切换时滞系统：

假设存在一个(A

此处

结合M＞0和赫尔维兹凸组合H可知，至少存在一个切换时滞系统的子系统满足α

然而值得注意的是，当切换时滞系统的状态轨迹运动到切换区域边界上时，也即子系统的切出和切入时，系统容易发生快切换现象。所谓快切换是指在一个特定的时间段内，从一个子系统切换到另一个子系统的切换次数较大而导致系统的状态轨迹在切换区域边界上出现滑膜与抖振现象，从而引起系统性能变差甚至不稳定。对此，为了更好避免快切换现象，文献2([2]Zonouz A Z,Badamchizadeh M A,Ghiasi A R.A new controlapproach for a class of linear switched systems with time-varying delay[J].Transactions ofthe Institute ofMeasurement and Control,2021(10):43.)构造了如下切换区域：

在上述构造的切换域中ξ＞1为常数，因此不等式右边将增大，这意味着将会有更多的系统状态会满足上述条件，也即使得切换区域变大产生交叠区域。因此

上述切换方法是对文献1中切换方法的改进，它通过增大切换区域来使得子系统的切换区域产生交叠部分，进而从一定程度上减少了快切换发生的可能性。然而，在该切换方法下，当切换时滞系统的状态轨迹进入多个子系统切换区域的交叠区时将很难确定当前运行的是哪一个子系统或者下一次该激活哪一个子系统。

基于上述讨论，针对指数不确定切换时滞系统，本发明将对上述切换方法进行改进。设计了一种基于能量衰减的状态依赖的切换策略。在该切换策略下，系统根据子系统的能量值来选择下一时刻的运行模态。

根据李雅普诺夫稳定性理论可知，一个控制系统趋于稳定，那么它的内部“能量”将会随时间减少，也即系统的状态会逐渐趋于系统的平衡点。因此，考虑如下第i个指数不确定切换时滞系统：

同样地，假设存在一个

此处

由文献1所构造的切换区域可知，当系统存在指数不确定性时，该切换区域变为：

然而值得注意的是，当指数不确定切换时滞系统的状态轨迹运动到切换区域边界上时，系统容易发生快切换现象。即系统在有限的时间段内从一个子系统切换到另一个子系统的切换次数较大而导致系统的状态轨迹在切换域边界上出现滑膜与抖振现象，进而引起系统性能变差甚至不稳定。

为了避免快切换现象，由文献2所构造的切换区域可知，当系统存在指数不确定性时，该切换区域变为：

上述切换域中ξ＞1为常数，因此，不等式右边将增大。这意味着将会有更多的系统状态会满足上述条件，即切换区域将变大产生交叠区域。因此

为了更好地避免系统产生快切换现象，根据李亚普诺夫稳定性理论可知，系统的内能会随时间减小，也即当系统的状态轨迹接近平衡点时，系统的“能量”会逐渐减少。因此，针对指数不确定切换时滞系统，本发明提出如下切换策略：

该切换策略的切换示意图如图4所示，其中Q

步骤三、在所设计的切换策略下证明指数不确定切换时滞系统渐进稳定。步骤三构造了一种包含三重积分项的泛函。利用广义自由矩阵积分不等式方法、Jensen’s不等式方法和二次函数负定引理处理系统中的时滞部分来证明指数不确定切换时滞系统渐进稳定。

首先定义如下李雅普诺夫克拉索夫斯基泛函：

V

其中

V

上式中P,Q

对上述泛函求导可得：

利用广义自由矩阵积分不等式方法与Jensen’s不等式方法得到

由上可得：

通过二次函数负定引理可得

步骤四、通过如下线性矩阵不等式求解指数不确定切换时滞系统所容许的最大时滞：

H

其中

e

E

上式中P,Q

本实施例的一种指数不确定切换时滞系统的稳定性分析方法，利用Matlab2020b软件，对发明的状态依赖切换策略与所获得的系统稳定的充分条件进行验证。令

A

令

接着，分别考虑如下两种情况：

情况1:具有常数时滞的指数不确定切换时滞系统。

求解线性矩阵不等式可得最大时滞上界

由此可得切换策略如图5所示。图6为常数时滞

情况2:具有时变时滞的指数不确定切换时滞系统。

选取文献2中的时变时滞

由此可得切换策略如图7所示。图8为时变时滞

表1系统能容许的最大时滞

表1列出了文献1、文献2与本发明中系统所能容许的最大时滞，由表1可知，本发明所考虑的系统所能容许的最大时滞更大，也即本发明所设计的切换策略与所得稳定性条件具有更小的保守性。

本发明以指数不确定切换时滞系统作为研究对象。首先，设计了一种基于能量衰减的状态依赖切换策略。该切换策略不用构造系统状态的切换区域，系统根据子系统的能量值切换到下一模态。该切换策略能很好地避免快切换现象，在该切换策略下系统的切换次数没有限制。其次，通过构造泛函并利用广义自由矩阵积分不等式方法、Jensen’s不等式方法和二次函数负定引理得到了指数不确定切换时滞系统渐进稳定的充分条件。通过求解充分条件得到了系统所容许的最大时滞。本发明所设计的切换策略与所得稳定条件适用于具有复杂切换动态特性、状态空间时延动态特性以及不确定性干扰的系统，具有较大的理论与实际应用价值。

实施例2

如图9所示，本发明提供一种指数不确定切换时滞系统的稳定性分析系统，包括表达式给出模块、切换策略设计模块、渐进稳定证明模块和正确性验证模块；

所述表达式给出模块用于给出指数不确定切换时滞系统的状态空间表达式；

所述切换策略设计模块用于基于指数不确定切换时滞系统的状态空间表达式，结合能量衰减原理设计状态依赖的切换策略；

所述渐进稳定证明模块用于在所设计的切换策略下证明指数不确定切换时滞系统渐进稳定；

所述正确性验证模块用于通过仿真例子验证所设计的切换策略的有效性与系统稳定条件的正确性。

本实施例中的其他特征与实施例1相同，故在此不再赘述。

实施例3

基于相同的构思，本发明还提供了一种实体结构示意图，如图10所示，该服务器可以包括：处理器(processor)810、通信接口(Communications Interface)820、存储器(memory)830和通信总线840，其中，处理器810，通信接口820，存储器830通过通信总线840完成相互间的通信。处理器810可以调用存储器830中的逻辑指令，以执行所述指数不确定切换时滞系统的稳定性分析方法的步骤。

此外，上述的存储器830中的逻辑指令可以通过软件功能单元的形式实现并作为独立的产品销售或使用时，可以存储在一个计算机可读取存储介质中。基于这样的理解，本发明的技术方案本质上或者说对现有技术做出贡献的部分或者该技术方案的部分可以以软件产品的形式体现出来，该计算机软件产品存储在一个存储介质中，包括若干指令用以使得一台计算机设备(可以是个人计算机，服务器，或者网络设备等)执行本发明各个实施例所述方法的全部或部分步骤。而前述的存储介质包括：U盘、移动硬盘、只读存储器(ROM，Read-Only Memory)、随机存取存储器(RAM，Random Access Memory)、磁碟或者光盘等各种可以存储程序代码的介质。

实施例4

基于相同的构思，本发明还提供一种非暂态计算机可读存储介质，该计算机可读存储介质存储有计算机程序，该计算机程序包含至少一段代码，该至少一段代码可由主控设备执行，以控制主控设备用以实现所述指数不确定切换时滞系统的稳定性分析方法的步骤。

在上述实施例中，可以全部或部分地通过软件、硬件、固件或者其任意组合来实现。当使用软件实现时，可以全部或部分地以计算机程序产品的形式实现。所述计算机程序产品包括一个或多个计算机指令。在计算机上加载和执行所述计算机程序指令时，全部或部分地产生按照本申请所述的流程或功能。所述计算机可以是通用计算机、专用计算机、计算机网络、或者其他可编程装置。所述计算机指令可以存储在计算机可读存储介质中，或者从一个计算机可读存储介质向另一个计算机可读存储介质传输，例如，所述计算机指令可以从一个网站站点、计算机、服务器或数据中心通过有线(例如同轴电缆、光纤、数字用户线)或无线(例如红外、无线、微波等)方式向另一个网站站点、计算机、服务器或数据中心进行传输。所述计算机可读存储介质可以是计算机能够存取的任何可用介质或者是包含一个或多个可用介质集成的服务器、数据中心等数据存储设备。所述可用介质可以是磁性介质，(例如，软盘、硬盘、磁带)、光介质(例如，DVD)、或者半导体介质(例如固态硬盘SolidStateDisk)等。

本领域普通技术人员可以理解实现上述实施例方法中的全部或部分流程，该流程可以由计算机程序来指令相关的硬件完成，该程序可存储于计算机可读取存储介质中，该程序在执行时，可包括如上述各方法实施例的流程。而前述的存储介质包括：ROM或随机存储记忆体RAM、磁碟或者光盘等各种可存储程序代码的介质。

以上所述实施例仅表达了本发明的几种实施方式，其描述较为具体和详细，但并不能因此而理解为对本发明专利范围的限制。应当指出的是，对于本领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进，这些都属于本发明的保护范围。因此，本发明专利的保护范围应以所附权利要求为准。