一种基于应力约束的连续体结构拓扑优化方法

摘要

本发明提出了一种高效求解应力约束下连续体结构拓扑优化方法，该方法结合了用于长度尺寸控制的密度滤波器、用于生成黑白设计的固体各向同性材料（SIMP）、用于解决应力奇异现象的应力定义以及用于控制局部应力的归一化方案。本发明不仅可以避免棋盘格现象，还能解决应力奇异现象，使迭代收敛更快。

说明书

技术领域

本发明涉及一种基于应力约束的连续体结构拓扑优化方法，属于结构优化领域。

背景技术

据了解，工程结构设计时经常需要限制最大名义应力，以避免发生断裂或疲劳破坏，一个有效的策略是采用拓扑优化方法。因而，应力约束拓扑优化是一种能够缓解结构应力集中现象的结构优化方法。拓扑优化是一种依据所给载荷和边界条件、约束条件和材料参数，在给定的区域内对结构分布进行优化的高效算法，属于结构设计优化的一种。

通常情况下，拓扑优化的目标函数或约束函数是刚度或频率，应力其实是函数中一个很重要的考虑因素，考虑到应力约束拓扑优化至少需要克服以下三个问题：应力奇异现象、局部应力约束问题和应力的非线性行为。

第一个应力奇异现象会导致局部最优解，为克服这一缺点采用松弛应力函数；第二个需克服的是局部应力约束问题，一般来说应力约束拓扑优化应该考虑所有单元的应力值，但实际上由于单元数量过多，考虑约束所有单元的应力值并不现实，因此考虑采用应力聚合函数约束来取代单元应力约束，通常可以选取KS函数或者P-norm 函数来进行聚合函数计算；第三个是设计的高度非线性问题，单元应力值受到临近单元密度的影响，这一现象在具有较大应力梯度的空间区域更为明显，因此需采用数值一致性来避免不收敛问题。然而，传统的基于应力结构拓扑优化算法并不能有效求解应力约束拓扑优化问题。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是：克服现有技术存在的问题，提供一种基于应力约束的连续体结构拓扑优化方法，该方法结合了用于长度尺寸控制的密度滤波器、用于生成黑白设计的固体各向同性材料 (SIMP)、用于解决应力奇异现象的应力定义以及用于控制局部应力的归一化方案。

本发明解决其技术问题的技术方案如下：

一种基于应力约束的连续体结构拓扑优化方法，包括以下步骤：

步骤1、通过有限元算法求出给定边界条件下，在给定负载情况下的单元应力函数，同时给出材料函数定义，将其定义为固体各向同性材料(SIMP)；转至步骤2；

步骤2、对步骤1所得到的单元应力值通过松弛应力函数进行处理，以避免应力的奇异性；转至步骤3；

步骤3、进行应力凝聚函数计算，并同时采取归一化处理缓解应力的非线性现象；转至步骤4；

步骤4、根据应力凝聚函数求解其关于单元密度的灵敏度函数；转至步骤5；

步骤5、将应力凝聚函数的灵敏度函数和体积灵敏度函数带入移动渐近线算法(MMA)进行优化迭代求解；转至步骤6；

步骤6、将优化迭代得到的单元密度进行单元密度过滤，进一步作为下一次迭代的有限元算法输入。

本发明结合了用于长度尺寸控制的密度滤波器、用于生成黑白设计的固体各向同性材料(SIMP)、用于解决应力奇异现象的应力定义以及用于控制局部应力的归一化方案。具体为：将给定半径的过滤区域内的单元密度通过密度过滤函数进行处理；针对应力奇异现象采用松弛应力函数的方法进行处理；将单元应力进行归一化处理，并采用应力凝聚函数来进行优化处理。密度滤波器可以避免棋盘格现象；解决应力奇异是采用了松弛应力函数的方法，否则会导致部分单元应力达到无穷大，使得算法没办法进行迭代；归一化方案即是

本发明进一步完善的技术方案如下：

本发明结合有限单元法来计算单元应力。所述步骤1中，所述单元应力函数为

σ

式中，σ

所述步骤1中，材料函数定义如下式所示，

C(x

式中，x

所述步骤2中，松弛应力函数如下所示，

η

那么，经松弛应力函数处理后的单元应力σ

σ

式中，σ

所述步骤3中，采取归一化处理缓解应力的非线性现象，那么归一化后的应力凝聚函数

式中，c为比例系数，

所述步骤6中，单元密度过滤公式为，

式中，ρ

本发明的优点是不仅可以避免棋盘格现象，还能解决应力奇异现象，使迭代收敛更快。

附图说明

下面结合附图对本发明作进一步的说明。

图1为本发明中单元密度过滤示意图。

图2为本发明中拓扑优化单元密度过滤的示例图。

图3为本发明的插值函数图。

图4为本发明的应力约束拓扑优化单元密度迭代图。

图5为本发明的应力约束拓扑优化单元应力迭代图。

图6为本发明的应力约束拓扑优化体积变化图。

图7为本发明的应力约束拓扑优化应力变化图。

具体实施方式

下面参照附图并结合实施例对本发明作进一步详细描述。但是本发明不限于所给出的例子。

本发明结合了用于长度尺寸控制的密度滤波器、用于生成黑白设计的固体各向同性材料(SIMP)、用于解决应力奇异现象的应力定义以及用于控制局部应力的归一化方案。具体方案如下：

一、密度滤波算法

设计区域内的密度通过过滤函数生成材料密度，再通过均匀化有限元密度，使得单元变量θ转换为单元密度ρ，密度过滤公式如下，

上式中，

拓扑优化过程中单元密度ρ必须介于(0,1)，因此只需在θ上施加相同的界限，通过上述滤波器定义的ρ即介于(0,1)，并且该滤波器限制了ρ的空间梯度，也即无需对θ施加任何额外限制即可得到平滑的单元密度ρ。并且，这种平滑度禁止设计具有小尺度特征，如窄带、锯齿状边缘、微穿孔和尖锐边界。基于密度的拓扑优化是一种面向黑白设计的结构设计方法，这一方法早期呈现锯齿状边缘，但是对于基于应力的拓扑优化，平滑度差的设计可能不可取。因为应力是通过位移梯度计算得来的，平滑度差的区域极易出现应力集中现象，在锯齿状区域，应力奇异现象会更加明显。

最终，这些锯齿状边界在有限元应力计算阶段数值急剧增加，导致敏度计算阶段误差偏大，因此最好在设计之初就采用平滑的边界，虽然平滑处理后边界会存在模糊的现象，但相比较于尖锐的锯齿边界要好得多。拓扑优化设计过程模糊区域的另一大优点在于它有利于结构构件的模糊化设计向全局最优的演变，因为针对棋盘格现象，采用滤波技术更容易获得实心的单元设计。针对中间密度单元将更快收敛到局部最优，从这个意义上说，滤波器为图像提供平滑优化算法，提高其收敛到全局最优的能力。因此，过滤器和SIMP方法通常结合使用。

二、固体各向同性材料(SIMP)

在基于密度的方法中，设计区域被离散成有限元网格。将一个值介于0和1之间的连续密度变量分配给每个变量元素，网格在整个优化过程中保持固定。元素密度为设计值变量，通过下式定义材料参数

C(x

其中，x

三、松弛应力计算

为避免应力奇异现象导致的局部应力过大，采用松弛函数处理单元应力。带有惩罚的松弛应力函数可以写为：

σ

其中，σ

四、应力归一化计算

由于应力的高度非线性问题，需采取应力归一化算法来避免不收敛现象，

其中，

实施例1

如图1至图7所示，一种基于应力约束的连续体结构拓扑优化方法，包括以下步骤：

步骤1、首先通过有限元算法求出给定边界条件下，在给定负载情况下的单元应力函数，同时给出材料函数定义，将其定义为固体各向同性材料(SIMP)。单元应力函数为

σ

式中，σ

材料函数定义如下式所示，

C(x

式中，x

步骤2、对步骤1所得到的单元应力值通过松弛应力函数进行处理，以避免应力的奇异性。

松弛应力函数如下所示，

η

那么，经松弛应力函数处理后的单元应力σ

σ

式中，σ

步骤3、进行应力凝聚函数计算，并同时采取归一化处理缓解应力的非线性现象。

采取归一化处理缓解应力的非线性现象，那么归一化后的应力凝聚函数

式中，c为比例系数，

步骤4、根据应力凝聚函数求解其关于单元密度的灵敏度函数。

其中，灵敏度函数是

步骤5、将应力凝聚函数的灵敏度函数和体积灵敏度函数带入移动渐近线算法(MMA)进行优化迭代求解。其中，体积灵敏度为

将应力凝聚函数的灵敏度函数和体积灵敏度函数带入移动渐近线算法进行优化迭代求解。迭代优化过程，是由于所采用的算法导致的，本实施例的优化算法是MMA(移动渐近线法)，为一种数学算法，就是说根据每次所提供的灵敏度函数，单元密度要进行调整，但不是一次就能得到最终结果，需要每次调整一部分，调到最后达到最优后，就是最终结果。

步骤6、将优化迭代得到的单元密度进行单元密度过滤，进一步作为下一次迭代的有限元算法输入。

单元密度过滤公式为，

式中，ρ

以上所述，仅为本发明中的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉该技术的人在本发明所揭露的技术范围内，可理解想到的变换或替换，都应涵盖在本发明的包含范围之内，因此，本发明的保护范围应该以权利要求书的保护范围为准。