一种求解任意旋转角三维坐标转换参数的方法

摘要

本发明公开了一种求解任意旋转角三维坐标转换参数的方法，包括步骤：一、获取两个坐标系下公共点的三维坐标；二、建立布尔沙转换模型；三、建立约束方程；四、建立误差方程；五、误差方程求解；六、计算单位权中误差；七、根据方差‑协方差阵估算旋转矩阵、尺度因子和三维平移分量的有效性；八、旋转矩阵的结果显示。本发明将旋转矩阵中的9个参数作为未知参数，建立约束方程作为约束条件引入至误差方程中求解任意旋转角三维坐标转换参数，方法严密，数学模型简单，易于实现，不需要对未知参数进行线性化，且两个三维坐标系下的旋转角初始值可以任意给定。

说明书

技术领域

本发明属于三维坐标转换技术领域，具体涉及一种求解任意旋转角三维坐标转换参数的方法。

背景技术

在空间大地测量中经常涉及到不同三维坐标系坐标之间的转换，其实质是利用公共点在两个三维坐标系中的坐标及非公共点在第一三维坐标系推估非公共点在第二三维坐标系坐标。三维基准转换通常采用7参数(3个平移参数、3个旋转参数和1个尺度参数)的相似变换，即先用公共点坐标计算转换参数，再利用转换参数转换非公共点坐标。目前常用的三维基准转换模型有Bursa-Wolf模型、Molodensky模型、Veis模型等，但该公式推导是基于3个秒级小角度旋转角的情况，对大旋转角的三维坐标转换却无能为力，大于秒级的大旋转角的空间直角坐标求解的模型为非线性模型，难点就在于无法给出准确的初始值，现有的计算方法通过迭代的方法获取7个转换参数准确的初始值、基于尺度参数的奇异值分解估计解决大旋转角问题、通过在3个或3个以上公共点中构建辅助公共点，建立公共点与平移量及旋转矩阵元素的线性方程，均无法避免旋转矩阵中非线性化带来的误差。因此，出现了将旋转矩阵的9个元素设为未知参数，建立这9个未知参数和其他4个转换参数(3个平移参数和1个比例参数)共13个未知参数之间的约束条件作为虚拟观测量，但此模型存在两个问题：一是将13个未知参数之间的约束条件作为虚拟观测量引入时存在无法准确定权的问题，权定的不同，导致最后求解的转换参数不同；二是将13个未知参数之间的约束条件引入时构成的间接平差中约束条件的法方程不可逆，因此按照附有约束条件的间接平差无法进行解算。

发明内容

本发明所要解决的技术问题在于针对上述现有技术中的不足，提供一种求解任意旋转角三维坐标转换参数的方法，将旋转矩阵中的9个参数作为未知参数，建立约束方程作为约束条件引入至误差方程中求解任意旋转角三维坐标转换参数，方法理论严密，数学模型简单，易于实现，且两个三维坐标系下的旋转角初值可以任意给定，便于推广使用。

为解决上述技术问题，本发明采用的技术方案是：一种求解任意旋转角三维坐标转换参数的方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

步骤一、获取两个坐标系下公共点的三维坐标：采用全站仪获取多个公共点在第一三维坐标系O-X₁Y₁Z₁和第二三维坐标系O-X₂Y₂Z₂中的三维坐标，并将获取的第一三维坐标系O-X₁Y₁Z₁中的三维坐标和第二三维坐标系O-X₂Y₂Z₂中的三维坐标传输至与全站仪连接的处理器中；

步骤二、建立布尔沙转换模型：处理器根据第一三维坐标系O-X₁Y₁Z₁中的三维坐标和第二三维坐标系O-X₂Y₂Z₂中的三维坐标建立布尔沙转换模型，为公共点在第二三维坐标系O-X₂Y₂Z₂中的三维坐标，为公共点在第一三维坐标系O-X₁Y₁Z₁中的三维坐标，为公共点的三维平移分量，μ为尺度因子，R为正交旋转矩阵且R_X为X轴旋转矩阵且R_Y为Y轴旋转矩阵且R_Z为Z轴旋转矩阵且ε_X为第一三维坐标系O-X₁Y₁Z₁的X轴与第二三维坐标系O-X₂Y₂Z₂的X轴之间的旋转角，ε_Y为第一三维坐标系O-X₁Y₁Z₁的Y轴与第二三维坐标系O-X₂Y₂Z₂的Y轴之间的旋转角，ε_Z为第一三维坐标系O-X₁Y₁Z₁的Z轴与第二三维坐标系O-X₂Y₂Z₂的Z轴之间的旋转角，RR^T＝E，E为单位阵，a₁、a₂、a₃、b₁、b₂、b₃、c₁、c₂和c₃为旋转矩阵R中9个未知参数且

步骤三、建立约束方程：处理器建立仅包含旋转矩阵R中9个未知参数的约束方程，得其中，为9个未知参数形成的未知参数矩阵，δ为改正数，C为的约束矩阵且为a₁的初始值，为a₂的初始值，为a₃的初始值，为b₁的初始值，为b₂的初始值，为b₃的初始值，为c₁的初始值，为c₂的初始值，为c₃的初始值，w为常数矩阵且

步骤四、建立误差方程：处理器建立与约束方程对应的误差方程，得其中，V为第一三维坐标系O-X₁Y₁Z₁中公共点与第二三维坐标系O-X₂Y₂Z₂中公共点的观测误差，为公共点的三维平移分量和尺度因子形成的未知参数矩阵，A₁为的误差系数矩阵且A₂为的误差系数矩阵且μ⁰为μ的初始值，l为转换误差矩阵且为公共点的三维平移分量的初始矩阵；

步骤五、误差方程求解：建立法方程并联立约束方程得其中，

D＝CM^-1C^T，P为权阵；

步骤六、根据公式计算单位权中误差σ，其中，n为第一三维坐标系O-X₁Y₁Z₁和第二三维坐标系O-X₂Y₂Z₂中公共点的数量；

步骤七、根据方差-协方差阵评估和的精度，其中，

步骤八、旋转矩阵的结果显示：处理器通过与其相接的显示器实时对满足步骤七的有效的旋转矩阵中的9个未知参数进行同步显示，并将参数保存在与计算机相接的存储器中。

上述的一种求解任意旋转角三维坐标转换参数的方法，其特征在于：所述第一三维坐标系O-X₁Y₁Z₁和第二三维坐标系O-X₂Y₂Z₂为假定坐标系、1954北京坐标系、1980西安坐标系、中国大地坐标系CGCS2000或世界大地坐标系WGS84之间的任意组合。

上述的一种求解任意旋转角三维坐标转换参数的方法，其特征在于：步骤六中第一三维坐标系O-X₁Y₁Z₁和第二三维坐标系O-X₂Y₂Z₂中公共点的数量n不小于5。

上述的一种求解任意旋转角三维坐标转换参数的方法，其特征在于：所述a₁的初始值a₂的初始值a₃的初始值b₁的初始值b₂的初始值b₃的初始值c₁的初始值c₂的初始值c₃的初始值和μ的初始值μ⁰，以及公共点的三维平移分量的初始矩阵中初始值初始值和初始值均为任意常数，且初始值初始值初始值初始值初始值初始值初始值初始值初始值初始值μ⁰、初始值初始值和初始值不同时为0。

本发明与现有技术相比具有以下优点：

1、本发明在建立约束方程时，只将旋转矩阵中的9个参数作为未知参数确定约束方程，并引入误差方程中，提出附有约束条件的任意旋转角空间直角坐标的转换模型，方法严密，数学模型简单，易于实现。

2、本发明将旋转矩阵中的9个参数作为未知参数确定约束方程，并引入误差方程中，不但克服了约束条件中法方程不可逆问题，而且保证了旋转矩阵的正交性，完全可以按照附有约束条件的间接平差模型进行解算，使用效果好。

3、本发明不需要对未知参数提供精度较高的初始值，且两个三维坐标系下的旋转角初值可以任意给定，不影响解算过程和结果，便于推广使用。

综上所述，本发明将旋转矩阵中的9个参数作为未知参数，建立约束方程作为约束条件引入至误差方程中求解任意旋转角三维坐标转换参数，方法严密，数学模型简单，易于实现，不需要对未知参数进行线性化，且两个三维坐标系下的旋转角初值可以任意给定，便于推广使用。

下面通过附图和实施例，对本发明的技术方案做进一步的详细描述。

附图说明

图1为本发明采用设备的电路原理框图。

图2为本发明的方法流程框图。

附图标记说明:

1—全站仪； 2—处理器； 3—显示器；

4—存储器。

具体实施方式

如图1和图2所示，本发明求解任意旋转角三维坐标转换参数的方法，包括以下步骤：

步骤一、获取两个坐标系下公共点的三维坐标：采用全站仪1获取多个公共点在第一三维坐标系O-X₁Y₁Z₁和第二三维坐标系O-X₂Y₂Z₂中的三维坐标，并将获取的第一三维坐标系O-X₁Y₁Z₁中的三维坐标和第二三维坐标系O-X₂Y₂Z₂中的三维坐标传输至与全站仪1连接的处理器2中；

本实施例中，所述第一三维坐标系O-X₁Y₁Z₁和第二三维坐标系O-X₂Y₂Z₂为假定坐标系、1954北京坐标系、1980西安坐标系、中国大地坐标系CGCS2000或世界大地坐标系WGS84之间的任意组合。

步骤二、建立布尔沙转换模型：处理器2根据第一三维坐标系O-X₁Y₁Z₁中的三维坐标和第二三维坐标系O-X₂Y₂Z₂中的三维坐标建立布尔沙转换模型，为公共点在第二三维坐标系O-X₂Y₂Z₂中的三维坐标，为公共点在第一三维坐标系O-X₁Y₁Z₁中的三维坐标，为公共点的三维平移分量，μ为尺度因子，R为正交旋转矩阵且R_X为X轴旋转矩阵且R_Y为Y轴旋转矩阵且R_Z为Z轴旋转矩阵且ε_X为第一三维坐标系O-X₁Y₁Z₁的X轴与第二三维坐标系O-X₂Y₂Z₂的X轴之间的旋转角，ε_Y为第一三维坐标系O-X₁Y₁Z₁的Y轴与第二三维坐标系O-X₂Y₂Z₂的Y轴之间的旋转角，ε_Z为第一三维坐标系O-X₁Y₁Z₁的Z轴与第二三维坐标系O-X₂Y₂Z₂的Z轴之间的旋转角，RR^T＝E，E为单位阵，a₁、a₂、a₃、b₁、b₂、b₃、c₁、c₂和c₃为旋转矩阵R中9个未知参数且

需要说明的是，第一三维坐标系O-X₁Y₁Z₁中的三维坐标和第二三维坐标系O-X₂Y₂Z₂中的三维坐标建立的布尔沙转换模型，中，未知参数包括3个三维平移分量，1个尺度因子和3个旋转角，由于旋转矩阵的推导均是基于秒级的小旋转角才适用，对于秒级以上的分级大旋转角的三维坐标转换却无能为力，大旋转角的空间直角坐标求解的模型为非线性模型，针对3个大旋转角的坐标转换参数，现采用将旋转矩阵的9个元素设为未知参数，建立这9个未知参数的约束方程，现有技术中将旋转矩阵的9个元素、3个三维平移分量和1个尺度因子共13个未知参数之间的约束条件作为虚拟观测量，建立的约束方程为其中，为13个未知参数形成的未知参数矩阵且

C’为的约束矩阵且对布尔沙转换模型进行线性化得到误差方程V’为将作为变量的第一三维坐标系O-X₁Y₁Z₁中公共点与第二三维坐标系O-X₂Y₂Z₂中公共点的观测误差，A为的误差系数矩阵且联立和根据法方程叠加原理可得其中，P’为l的权阵，P”为w的权阵，如果w的权阵P”不同时，得到的也不同，可见虚拟观测量的引入在理论上并不严密，如果将转换为由于C’的前4列全部为零，构成的约束条件的方程N_cc＝C’(A^TP’A)^-1C’^T不可逆，因此按照附有约束条件的间接平差无法进行解算。

步骤三、建立约束方程：处理器2建立仅包含旋转矩阵R中9个未知参数的约束方程，得其中，为9个未知参数形成的未知参数矩阵，δ为改正数，C为的约束矩阵且为a₁的初始值，为a₂的初始值，为a₃的初始值，为b₁的初始值，为b₂的初始值，为b₃的初始值，为c₁的初始值，为c₂的初始值，为c₃的初始值，w为常数矩阵且

步骤四、建立误差方程：处理器2建立与约束方程对应的误差方程，得其中，V为第一三维坐标系O-X₁Y₁Z₁中公共点与第二三维坐标系O-X₂Y₂Z₂中公共点的观测误差，为公共点的三维平移分量和尺度因子形成的未知参数矩阵，A₁为的误差系数矩阵且A₂为的误差系数矩阵且

μ⁰为μ的初始值，l为转换误差矩阵且为公共点的三维平移分量的初始矩阵；

本实施例中，所述a₁的初始值a₂的初始值a₃的初始值b₁的初始值b₂的初始值b₃的初始值c₁的初始值c₂的初始值c₃的初始值和μ的初始值μ⁰，以及公共点的三维平移分量的初始矩阵中初始值初始值和初始值均为任意常数，且初始值初始值初始值初始值初始值初始值初始值初始值初始值初始值μ⁰、初始值初始值和初始值不同时为0。

需要说明的是，若初始值初始值初始值初始值初始值初始值初始值初始值初始值初始值μ⁰、初始值初始值和初始值同时为0时，计算容易出错甚至无法进行下去，因此，避免初始值初始值初始值初始值初始值初始值初始值初始值初始值初始值μ⁰、初始值初始值和初始值同时为0的情况。

步骤五、误差方程求解：建立法方程并联立约束方程得其中，

D＝CM^-1C^T，P为权阵；

需要说明的是，将旋转矩阵中的9个参数作为未知参数确定约束方程，并引入误差方程中，不但克服了约束条件中法方程不可逆问题，而且保证了旋转矩阵的正交性，完全可以按照附有约束条件的间接平差模型进行解算，方法严密。

步骤六、根据公式计算单位权中误差σ，其中，n为第一三维坐标系O-X₁Y₁Z₁和第二三维坐标系O-X₂Y₂Z₂中公共点的数量；

本实施例中，步骤六中第一三维坐标系O-X₁Y₁Z₁和第二三维坐标系O-X₂Y₂Z₂中公共点的数量n不小于5。

实际解方程中，存在13个未知量，一个公共点可列3个方程，因此，至少需要5个公共点满足需求。

步骤七、根据方差-协方差阵评估和的精度，其中，

步骤八、旋转矩阵的结果显示：处理器2通过与其相接的显示器3实时对满足步骤七的有效的旋转矩阵中的9个未知参数进行同步显示，并将参数保存在与计算机2相接的存储器4中。

本发明使用时，采用全站仪1采集17个公共点分别在两个坐标系下的三维坐标，如表1，表1为17个公共点分别在第一三维坐标系O-X₁Y₁Z₁和第二三维坐标系O-X₂Y₂Z₂中的坐标，本实施例中，第一三维坐标系O-X₁Y₁Z₁和第二三维坐标系O-X₂Y₂Z₂为不同的假定坐标系。

表1

采用本发明计算旋转矩阵R中a₁、a₂、a₃、b₁、b₂、b₃、c₁、c₂和c₃的9个参数的结果与现有技术中9个参数的结果进行比较，得到表2，表2为本发明计算结果与三次现有技术计算结果，本发明实际使用中，权阵P选用等权的单位权阵。

表2

从本发明结果和现有方法结果的对比可以看出，现有方法权阵取值不同时所求得旋转矩阵的9个参数不同，通过13个参数求解的坐标值也会不相同，说明了现有方法理论上并不严密，有其局限性，而本发明方法求解的参数具有唯一性。当现有方法中虚拟观测量的权取100000000或更大时，所求得的表2中的9个旋转参数的值与本发明方法结果更加接近，同样求得转换后的坐标精度越高。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例，并非对本发明作任何限制，凡是根据本发明技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、变更以及等效结构变化，均仍属于本发明技术方案的保护范围内。