一种二维非凸形随机骨料周围界面浓度的测定方法

摘要

本发明公开了一种二维非凸形随机骨料周围界面浓度的测定方法，包括如下步骤：1、基于富勒公式推导的瓦拉文公式获取在富勒级配下各粒径范围的二维骨料数量密度；2、基于简单椭圆曲线通过单峰值的伸缩因子变形得到二维非凸形骨料模型；3、采用伸缩矩阵获取非凸骨料周围界面的细观结构信息；4、根据步骤1计算出的二维非凸形骨料颗粒的数量密度和步骤2给出的骨料模型生成骨料颗粒、进行骨料重叠判断并进行随机堆积；5、根据步骤4得到的结果采用Monte Carlo随机点采样法和统计原理测定界面浓度。该方法提供了一种测量非凸形骨料周围界面浓度的方法，使得界面浓度含量的测定方法更具普适性和代表性。

说明书

技术领域

本发明涉及一种界面浓度的测定方法，具体涉及一种二维非凸形随机骨料周围界面浓度的测定方法，属于混凝土细观力学理论和数值试验技术领域。

背景技术

大量的试验研究已经证实界面广泛地存在于不同类型混凝土的骨料—浆体之间，由于具有高孔隙率、低刚度的物理特性，界面在材料中所占的含量严重制约着混凝土结构的承载能力和抗侵蚀能力。但是，目前仍然无法通过常规的微细观实验技术直接测量界面浓度。当前，国际上主要通过理论研究和数值仿真两种途径来获取界面浓度。

在理论研究方面，最具代表性的工作是美国国家标准技术研究所(NIST)将hard core/soft shell模型和最邻近表面分布函数理论引入混凝土材料中研究球形骨料—浆体间界面浓度，然而，该理论模型仅仅适用于最简单的球形随机骨料情况。为了更深入地分析界面浓度，国内外学者也试图通过改进球形骨料的最邻近表面分布函数获取一些复杂凸形骨料—浆体间界面浓度理论模型，如：椭球形随机骨料模型、凸面体随机骨料模型以及柱状纤维模型。尽管这些理论模型都已经证实骨料的几何特性对界面浓度具有重要的影响。但是根据模型所得到的结果却大相径庭，很难应用于实际的工程结构中。

随着现代计算机硬件和软件技术的飞速发展，数值仿真方法相比较于理论研究无疑更加准确、真实地模拟和分析实际混凝土材料的细观结构和界面浓度。在以往的数值模拟研究中，通常先构建混凝土细观结构模型，并在此基础上数值模拟界面浓度。因此，数值仿真技术主要由两部分组成：第一部分是输入含有界面的混凝土细观结构信息，这要求研究者们首先必须建立满足混凝土自身特征的细观结构模型。现有的混凝土细观结构模型包括从早期最简单的球形骨料模型到最近的复杂凸体骨料模型。实际混凝土的骨料成分并非是完美的凸形体，而是具有凹凸相间的非凸体组成；然而，关于含有非凸形骨料的混凝土细观结构模型的研究鲜见报道。第二部分是数值统计界面浓度，采用的统计方法包括一点概率函数、线样条、点采样、方差分析法等。现有的数值统计结果主要针对凸形骨料周围的界面浓度，但是不同研究机构所得到的数值结果却相差很大，例如，NIST揭示的椭球形骨料周围界面浓度与最近国内学者的数值研究结果正好相反。就其原因，在于两者所建立的材料细观结构模型上的差异。但是，非凸形骨料周围界面浓度的统计分析目前仍然是一片空白。因此，如何精确高效地测定非凸形骨料周围的界面浓度成为混凝土细观力学研究的热点及难点问题。

发明内容

发明目的：针对现有技术中存在的问题，本发明公开了一种二维非凸形随机骨料周围界面浓度的测定方法，克服了现有技术中只能针对凸形骨料研究的技术约束以及数值模拟所产生的误差的问题，使得界面浓度含量的测定方法更具普适性和代表性。

技术方案：本发明采用的技术方案如下：

一种二维非凸形随机骨料周围界面浓度的测定方法，包括如下步骤：

(1)基于富勒公式推导的瓦拉文公式获取在富勒级配下各粒径范围的二维骨料数量密度：

其中P_c(D<D₀)为实际骨料粒径D小于D₀的骨料密度，D_max为最大骨料颗粒直径；

(2)基于简单椭圆曲线通过单峰值的伸缩因子变形得到二维非凸形骨料模型，所述二维非凸形骨料模型的椭圆基础参数方程为：

其中u∈(0,2π)，α为椭圆上点的旋转角度，α∈(0,π)，a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴；

所述二维非凸形骨料模型的伸缩因子函数如下：

其中函数g(s)的表达式如下：

其中r₁为峰值区域边界，r₂为支区域边界；

(3)采用伸缩矩阵获取非凸形骨料周围界面的细观结构信息；

(4)根据步骤1计算出的二维非凸形骨料颗粒的数量密度和步骤2给出的骨料模型生成骨料颗粒、进行骨料重叠判断并进行随机堆积；

(5)根据步骤4得到的结果采用Monte Carlo随机点采样法和统计原理测定界面浓度。

具体地，所述步骤(3)包括如下步骤：

(31)将步骤(2)建立的二维非凸形骨料模型的椭圆基础参数方程中的参数u在(0,2π)区间内拆分为n份，子区间中心为a_0i，其中i＝1,2,...,n；

(32)对第i个子区间随机生成两个轴向的伸缩因子β_1i、β_2i，构成伸缩矩阵D_i：

D_i＝diag(β_1i,β_2i)，

以子区间中心a_0i为变形峰值向内收缩，得到骨料轮廓线散点P(t_g)和界面的外边界轮廓线散点P(t_s)：

其中椭圆中心E为单位矩阵，γ为二维非凸形骨料周围界面层厚度；

骨料轮廓线所围的面积S(t_g)和界面的外边界轮廓线所围的面积S(t_s)分别为：

具体地，所述步骤(4)中生成骨料颗粒包括如下步骤：

(41)初始化骨料颗粒数量m＝0和骨料颗粒的总面积s＝0；

(42)根据非凸形骨料的尺寸大小按照步骤(1)计算二维非凸形骨料的数量密度P_c，从而得到骨料的数量N＝P_c·S_c，其中S_c为模拟的样本面积；在粗骨料最大粒径下随机生成半长轴a_j和半短轴b_j；

(43)在模拟区域内随机生成一点O_j(x_0j,y_0j)作为生成二维非凸形骨料模型的椭圆基础的椭圆中心；

(44)判断点O_j是否在所有已生成的颗粒的覆盖椭圆的外部；如果否，转步骤(43)重新生成椭圆中心；若是，计算O_j与所有已生成骨料边界的距离，判断其中最小的距离d是否大于半长轴a_j；如果d<a_j，表示骨料颗粒有重叠，转步骤(43)重新生成椭圆中心；如果d≥a_j，以O_j(x_0j,y_0j)为中心、a_j为半长轴、b_j为半短轴生成椭圆，根据步骤(2)对所述椭圆进行随机变形得到骨料颗粒Q_j；判断Q_j是否与已经生成的骨料颗粒重叠，如果重叠，则跳转至步骤(43)重新生成非凸形骨料颗粒的空间位置；根据步骤(3)计算骨料颗粒Q_j的面积S₀(t_g)，s＝s+S₀(t_g)，m＝m+1；

(45)判断是否满足迭代收敛条件：m>N或s>S，如果满足，结束；否则转步骤(43)；其中S为骨料颗粒最大总面积。

优选地，所述步骤(44)中判断骨料颗粒Q_j是否与已生成的骨料颗粒Q_k重叠，包括如下步骤：

(441)A为非凸骨料颗粒Q_j边界的组成点，O_j(x_0j,y_0j)为Q_j中心点；令θ为O_jA与椭圆基础长轴的夹角；O_jA与已生成的骨料颗粒Q_k边界相交于点B；

(442)初始时令θ＝0，计算O_j(x_0j,y_0j)与A、B之间的距离|O_jA|和|O_jB|，如果|O_jA|>|O_jB|，则Q_j与Q_k重叠；否则，不重叠；

(443)以步长△θ修改θ的值：θ＝θ+△θ，0≤θ≤360°，再次计算O_j(x_0j,y_0j)与A、B之间的距离|O_jA|和|O_jB|，如果|O_jA|>|O_jB|，则Q_j与Q_k重叠；否则，不重叠。

具体地，所述步骤(5)包括：在模拟空间内大量投放随机点，按照随机点所处的空间位置将随机点分为骨料边界内随机点、骨料边界外随机点、界面最外层轮廓线内随机点和界面最外层轮廓线外随机点；

统计每种随机点的个数，得到界面浓度η：

其中N_sum为随机点总数，N_in为界面最外层轮廓线内随机点总数，N_out为骨料边界外随机点总数。

优选地，所述步骤(31)中参数u在(0,2π)区间内进行n等分，分为n个子区间。

优选地，所述步骤(32)中伸缩因子β_1i、β_2i在[-0.16,-0.1]区间内取值。

优选地，二维非凸形骨料周围界面层厚度γ为0.003毫米。

优选地，所述步骤(4)中按照非凸形骨料颗粒的粒径从大到小排序，使越大的粒子，越先进行堆积。

优选地，所述步骤(443)中步长△θ为0.01°。

有益效果：与现有技术相比，本发明公开的二维非凸形随机骨料周围界面浓度的测定方法具有以下优点：1、本发明公开的方法能够精确测定二维非凸形随机骨料周围的界面浓度；2、本发明建立了一种概念清晰、理论简单、操作便利、适用范围广的二维非凸形随机骨料周围界面浓度的数值框架，对推广和发展复合介质界面微结构关于宏观性能的作用机理分析具有十分重要的理论和现实意义；3、本发明克服了现有技术中凸形骨料研究的技术约束，使得界面浓度的测定方法更具普适性和代表性；4、本发明公开的方法更加科学、清晰地反映了二维非凸形随机骨料的几何特征。

附图说明

图1为基于椭圆曲线伸缩构造的二维非凸形骨料示意图；

图2是构造的二维非凸形骨料及其界面拓扑结构；

图3为二维非凸形随机骨料周围界面浓度测定的流程图；

图4为判断二维非凸形骨料之间重叠的示意图；

图5为二维非凸形骨料重叠判断实验图；

图6是骨料面积分数为40％时的混凝土细观结构模型；

图7是在不同界面厚度下二维非凸形骨料含量对界面浓度影响的数值结果。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式，进一步阐明本发明。

一种二维非凸形随机骨料周围界面浓度的测定方法，包括如下步骤：

步骤1、利用基于富勒公式推导的瓦拉文公式和相关物理量确定骨料颗粒的数量、尺寸、分布的总面积，将应用于三维的富勒级配曲线转化为混凝土试件截面任一点具有骨料直径D<D₀的内截圆出现的概率,从而得到在富勒级配下各个粒径范围的二维骨料数量密度P_c。具体转化步骤如下：

首先假定骨料为球形颗粒，利用骨料在空间上等概率分布和任一大小圆形切面无概率占优性，按照富勒曲线确定骨料的三维级配曲线，通过直径D筛孔的骨料的重量百分比D_max代表最大骨料颗粒直径，认为在空间内任指定一点位于小于半径为D_x的骨料上的概率密度表示为：

其中P_k为骨料体积与混凝土总体积之比，一般情况下P_k＝0.75。

根据空间几何关系得：

即所谓的瓦拉文公式。其中P_c(D<D₀)为实际骨料粒径D小于D₀的骨料密度。

步骤2、基于简单椭圆曲线通过单峰值的伸缩因子变形得到二维非凸形骨料模型，所述二维非凸形骨料模型的椭圆基础参数方程为：

其中u∈(0,2π)，α为椭圆上点的旋转角度，α∈(0,π)，a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴，如图1所示；

引入伸缩因子对区间[a₀-r₂,a₀+r₂]进行伸缩，其中a₀为伸缩中心，r₂为支区域边界，令r₁为峰值区域边界，且有0≤r₁<r₂。令t＝t(x)＝(x-a₀)²表示任一点到伸缩中心的距离，得到二维非凸形骨料模型的伸缩因子函数如下：

其中函数g(s)的表达式如下：

考虑到计算时的普适性，采用查高斯积分表的方法来计算伸缩因子的数值，本发明采用的是8个节点的高斯积分表，如表1所示。经过试验，利用积分区间内8个积分节点的高斯积分生成的伸缩因子可以更有效的表现出非凸形骨料的形貌，表1给出的是单位区间内的积分节点和各积分节点权重，即概率分布。

表1

节点权重-0.96028985649753600.1012285362903760-0.79666647741362600.2223810344533740-0.52553240991632900.3137066458778870-0.18343464249564900.36268378337836200.18343464249564900.36268378337836200.52553240991632900.31370664587788700.79666647741362600.22238103445337400.96028985649753600.1012285362903760

步骤3、采用伸缩矩阵获取非凸形骨料周围界面的细观结构信息，具体步骤如下：

(31)将步骤2建立的二维非凸形骨料模型的椭圆基础参数方程中的参数u在(0,2π)区间内拆分为n份，子区间中心为a_0i，其中i＝1,2,...,n；本发明中参数u在(0,2π)区间内进行n等分，分为n个子区间。

(32)对第i个子区间随机生成两个轴向的伸缩因子β_1i、β_2i，构成伸缩矩阵D_i：

D_i＝diag(β_1i,β_2i)，

伸缩因子β_1i、β_2i在[-0.16,-0.1]区间内取值，使得生成的非凸形颗粒形貌更加接近于真实骨料颗粒形态。

以子区间中心a_0i为变形峰值向内收缩，为保证只有一个最大收缩点，一般取r₁为0，取r₂为子区域中随机点。得到骨料轮廓线散点P(t_g)和界面的外边界轮廓线散点P(t_s)：

其中椭圆中心E为单位矩阵，γ为二维非凸形骨料周围界面层厚度，本实施例中为0.003毫米；骨料边界如图2所示黑色线条为骨料轮廓线，灰色部分为厚度是γ的骨料周围界面。

轮廓线所围的面积S(t_g)和界面的外边界轮廓线所围的面积S(t_s)分别为：

步骤4、根据步骤1计算出的二维非凸形骨料颗粒的数量密度和步骤2给出的骨料模型生成骨料颗粒、进行骨料重叠判断并进行随机堆积；

生成骨料颗粒具体步骤如下：

(41)初始化骨料颗粒数量m＝0和骨料颗粒的总面积s＝0；

(42)根据非凸形骨料的尺寸大小按照步骤(1)计算二维非凸形骨料的数量密度P_c，从而得到骨料的数量N＝P_c·S_c，其中S_c为模拟的样本面积；在粗骨料最大粒径下随机生成半长轴a_j和半短轴b_j；

(43)在模拟区域内随机生成一点O_j(x_0j,y_0j)作为生成二维非凸形骨料模型的椭圆基础的椭圆中心；

(44)判断点O_j是否在所有已生成的颗粒的覆盖椭圆的外部；如果否，转步骤(43)重新生成椭圆中心；若是，计算O_j与所有已生成骨料边界的距离，判断其中最小的距离d是否大于半长轴a_j；如果d<a_j，表示骨料颗粒有重叠，转步骤(43)重新生成椭圆中心；如果d≥a_j，以O_j(x_0j,y_0j)为中心、a_j为半长轴、b_j为半短轴生成椭圆，根据步骤(2)对所述椭圆进行随机变形得到骨料颗粒Q_j；判断Q_j是否与已经生成的骨料颗粒重叠，如果重叠，则跳转至步骤(43)重新生成非凸形骨料颗粒的空间位置；根据步骤(3)计算骨料颗粒Q_j的面积S₀(t_g)，s＝s+S₀(t_g)，m＝m+1；

(45)判断是否满足迭代收敛条件：m>N或s>S，如果满足，结束；否则转步骤(43)；其中S为骨料颗粒最大总面积。

判断骨料颗粒Q_j是否与已生成的骨料颗粒Q_k重叠，包括如下步骤：

(441)A为非凸形骨料颗粒Q_j边界的组成点，O_j(x_0j,y_0j)为Q_j中心点；令θ为O_jA与椭圆基础长轴的夹角；O_jA与已生成的骨料颗粒Q_k边界相交于点B；

(442)初始时令θ＝0，计算O_j(x_0j,y_0j)与A、B之间的距离|O_jA|和|O_jB|，如果|O_jA|>|O_jB|，则Q_j与Q_k重叠；否则，不重叠；

(443)以步长△θ修改θ的值：θ＝θ+△θ，0≤θ≤360°，再次计算O_j(x_0j,y_0j)与A、B之间的距离|O_jA|和|O_jB|，如图3所示，如果|O_jA|>|O_jB|，则Q_j与Q_k重叠；否则，不重叠。本发明中步长△θ为0.01°。

为了得到更紧密的结果，本发明按照非凸形骨料颗粒的粒径从大到小排序，使越大的粒子，越先进行堆积。

在模拟区域内进行实验，生成一个骨料，随机投放数千个点，根据本步骤的重叠判断方法可以识别出那些随机点与骨料的相对空间位置关系，图5展示了本发明的重叠判断方法识别出落在骨料外面的那些随机投放点。如图6所示，为骨料面积分数为40％时的采用本发明公开的方法建立的混凝土细观结构模型。

步骤5、根据步骤4得到的结果采用Monte Carlo随机点采样法和统计原理测定界面浓度，包括如下步骤：在模拟空间内大量投放随机点，按照随机点所处的空间位置将随机点分为骨料边界内随机点、骨料边界外随机点、界面最外层轮廓线内随机点和界面最外层轮廓线外随机点；

统计每种随机点的个数，得到界面浓度η：

其中N_sum为随机点总数，N_in为界面最外层轮廓线内随机点总数，N_out为骨料边界外随机点总数。

如图4所示，为二维非凸形随机骨料周围界面浓度测定的流程图。

图7是在不同界面厚度下二维非凸形骨料含量对界面浓度影响的数值结果对比。