一种基于力边界和平衡条件的应力求解法

摘要

本发明公开了一种基于力边界和平衡条件的应力求解法，属于力学、土木工程和地质工程等与力和变形相关计算方法的技术领域。该方法基于一个形状固定的研究对象，其对应的应力状态也应该是确定的事实，在假设应力满足力的边界和平衡条件下，获得相对应的应力理论解。该方法将研究对象的应力状态和对应于研究对象的边界条件应力加以区分，在应力连续条件下，研究对象的边界应力状态和对应的边界条件应力矢量和为零；在应力不连续条件下，两者的矢量和不为零。分析应力不连续原因，从而计算对应的不连续变形和不连续应力，这种不连续应力应使研究对象满足平衡条件，从而获得研究对象的应力分布，解决应力不连续计算难题。该方法的提出将对大坝、桥梁、边坡、路基、房屋、隧道、夹杂、巷道、涵洞等各种营建构筑物的动静态加卸载破坏过程研究和应用具有推动作用。

说明书

技术领域

本发明涉及力学、土木工程和地质工程等与力和变形相关等技术领域，特别涉及大坝、桥梁、边坡、路基、房屋、隧道、夹杂、巷道、涵洞等等各种营建构筑物的破坏过程研究和应用，本发明实现了应力和应变的理论求解，对大坝、桥梁、边坡、路基、房屋、隧道、夹杂、巷道、涵洞等各种营建构筑物的动静态加卸载等设计、研究、预测预报等具有巨大的推动作用。

背景技术

现行应力求解往往建立在有限单元等数值计算方法上，有限单元法采用的是以点代面(注：对于二维问题)或以点代体(注：对于三维问题))，因而不同大小的单元，其计算结果并不相同；再则，数值计算时采用的是用线性方法求解非线性问题，也即是：初应力法(或初应变法)，当然不同的收敛标准其结果也是不一样的。然而对于一个形状固定的研究对象，其应力状态也应该是确定的；鉴于此，本发明提出了一种基于力边界和平衡条件的应力求解法，该方法在假设应力满足力的边界和平衡条件下，获得应力理论解。这种方法将对现行应力求解法向前推进一大步。

发明内容

本发明的目的在于提出了一种基于力边界和平衡条件的应力求解法，该方法基于一个形状固定的研究对象，其对应的应力状态也应该是确定的事实，在假设应力满足力的边界和平衡条件下，获得相对应的应力理论解。该方法将研究对象的应力状态和对应于研究对象的边界条件应力加以区分，在应力连续条件下，研究对象的边界应力状态和对应的边界条件应力矢量和为零；在应力不连续条件下，两者的矢量和不为零。分析应力不连续原因，从而计算对应的不连续变形和不连续应力，这种不连续应力应使研究对象满足平衡条件，从而获得研究对象的应力分布，解决应力不连续计算难题。

为实现上述目的，本发明公开了一种基于力边界和平衡条件的应力求解法，包括以下步骤：

1)测量研究对象的宏观几何特征，建立与宏观几何特征相对应的几何特征描述方程；

2)分析研究对象的比重分布特征，建立研究对象在研究区域的比重分布方程；

3)分析研究对象的边界条件应力的特征，建立与边界条件应力的特征相对应的边界条件应力方程；

4)选取应力表示方程，所述应力表示方程满足相对应的平衡方程、力的边界条件方程，并计算出各常系数；

5)结合现行的强度准则，对研究对象的受力特性进行详细分析，并结合相应的本构方程，对研究对象的变形特征进行对比分析，确定研究对象的行为特征。

进一步地，所述步骤1)中，在对研究对象准确测量研究的基础上，建立相对应的几何特征描述方程，所述几何特征描述方程包括线性方程或非线性方程，所述线性方程表征为y＝kx+b，所述非线性方程包括曲线方程；

所述步骤2)中，在对研究对象的比重分布特征研究的基础上，建立研究对象在研究区域的比重分布方程，所述比重分布方程的相对应的比重包括γ_w,x，γ_w,y，γ_w,z；

所述步骤3)中，在对研究对象的边界条件应力的特征研究的基础上，建立相对应的边界条件应力方程；对于研究对象为二维几何构型的情况，AB为边界面，则AB面边界条件正应力σ_N^AB,B和AB面边界条件剪应力τ_N^AB,B，且满足如下数学关系式：

σ_N^AB,B＝l²σ_xx^AB+m²σ_yy^AB+2lmτ_xy^AB>

式(1)和式(2)中，l和m为AB面外法向方向余弦值；σ_xx^AB、σ_yy^AB为正应力，τ_xy^AB为剪应力；

所述步骤4)中，选取应力表示方程，所述应力表示方程满足相对应的力的平衡方程和力的边界条件方程，并求解相对应的各常系数；

对于研究对象为二维几何构型的情况，应力包含正应力σ_xx、σ_yy和剪应力τ_xy，若应力的表达式满足如下数学关系式：

σ_xx＝a_1,1x+a_1,2y+a_1,3x²+a_1,4xy+a_1,5y²+a_1,6x³+a_1,7x²y+a_1,8xy²+.....式(3)

σ_yy＝a_2,1x+a_2,2y+a_2,3x²+a_2,4xy+a_2,5y²+a_2,6x³+a_2,7x²y+a_2,8xy²+.....式(4)

τ_xy＝a_3,1x+a_3,2y+a_3,3x²+a_3,4xy+a_3,5y²+a_3,6x³+a_3,7x²y+a_3,8xy²+.....式(5)

且对应的比重分布方程满足如下数学关系式：

γ_w,x＝γ_0,x+a_4,1x+a_4,2y+a_4,3x²+a_4,4xy+a_4,5y²+a_4,6x³+a_4,7x²y+a_4,8xy²+…式(6)

γ_w,y＝γ_0,y+a_5,1x+a_5,2y+a_5,3x²+a_5,4xy+a_5,5y²+a_5,6x³+a_5,7x²y+a_5,8xy²+…式(7)

式(3)～式(7)中，a_1,1～a_1,8、a_2,1～a_2,8、a_3,1～a_3,8、a_4,1～a_4,8和a_5,1～a_5,8均为常系数；

力的平衡方程满足如下数学关系式：

在任意坐标条件下，满足所述力的平衡方程的必要条件为相对应的各项系数为零，假设比重γ_w,x、γ_w,y均为常数，则由式(8)得到如下关系式：

a_1,1+a_3,2+γ_0,x＝0>

2a_1,3+a_3,4＝0式(11)

a_1,4+2a_3,5＝0式(12)

3a_1,6+a_3,7＝0式(13)

2a_1,7+2a_3,8＝0>

a_1,8+3a_3,9＝0式(15)

……

由式(9)得到如下关系式：

a_3,1+a_2,2+γ_0,y＝0式(16)

2a_3,3+a_2,4＝0>

a_3,4+2a_2,5＝0>

3a_3,6+a_2,7＝0>

2a_3,7+2a_2,8＝0式(20)

a_3,8+3a_2,9＝0>

……

再进一步地，所述步骤4)中，在边界条件应力作用下，存在如下两种情况：

4.1)当应力连续时，边界应力和边界条件应力相等。

对于研究对象为二维几何构型的情况，AB、BC、CD、DA均为边界面，边界应力和边界条件应力满足如下关系式：

其中，分别为AB、BC、CD、DA面边界条件正应力和剪应力，分别为AB、BC、CD、DA面边界法向正应力和剪应力；

4.2)当应力存在部分不连续时，边界应力和边界条件应力不相等。

边界条件应力和研究对象的重力所产生的力和力矩保持平衡，对于研究对象为二维几何构型的情况，X轴和Y轴为坐标轴，则X轴方向的力平衡满足如下数学关系式：

Y轴方向的力平衡满足如下数学关系式：

式(22)中，S_i,x^AB,B,S_i,x^BC,B,S_i,x^CD,B,S_i,x^DA,B分别为AB、BC、CD、DA面在X轴方向的投影，式(23)中，S_i,y^AB,B,S_i,y^BC,B,S_i,y^CD,B,S_i,y^DA,B分别为AB、BC、CD、DA面在Y轴方向的投影，S_i为研究对象的面积；

力矩平衡方程确定的前提条件是确定转动点，分析可能的转动方式，确定转动点坐标为Z(X_N,Y_N)，力矩平衡方程满足如下数学关系式：

式(24)中，分别为AB、BC、CD、DA面边界条件法向正应力和剪应力产生的力矩，M_γw,X，M_γw,Y分别为X、Y轴方向的比重产生的力矩；

对于研究对象为三维几何构型的情况，S_i：则为研究对象的体积；力矩平衡方程确定的前提条件是确定转动轴。

更进一步地，所述步骤4)中，当所述边界条件应力也可为集中力，对于研究对象为二维几何构型的情况，所述集中力沿一定半径的弧长或一定长短轴椭圆弧长积分表示；对于研究对象为三维几何构型的情况，所述集中力沿一定半径的球面或一定长短轴椭球面积分表示。

更进一步地，所述步骤3)中，研究对象的其它边界面与AB边界面具有一致的特征，且式(1)和式(2)只在应力连续的条件下成立。

更进一步地，所述步骤5)中，在获得的应力理论解的基础上，计算对应的主应力，将主应力代入现行的强度准则中，从而决定破坏状态点，破坏方向或破坏面。

更进一步地，结合相应的本构方程，对研究对象的变形特征进行对比分析，确定研究对象的行为特征；利用现行室内外在主应力条件下获得的主应力—应变关系，建立相应的本构方程，从而获得主应变，假设坐标旋转可适宜于计算任意方向的应变，则通过现场实测变形与本构关系所获得的变形进行对比分析，从而获得研究对象的变性行为特征。

有益效果：

1、本发明的求解法在假设研究对象应力满足边界和平衡条件下，根据研究对象的几何特征，可以求解研究对象在任意几何形状中应力分布特征理论解，并可以求解绝对应力和相对应力的大小；

2、本发明的求解法不仅适用于应力连续条件，而且也适宜于应力不连续条件求解；

3、本发明的求解法对大坝、桥梁、边坡、路基、房屋、隧道、夹杂、巷道、涵洞等各种营建构筑物的动静态加卸载及破坏过程研究和应用具有推动作用，且能获得相应理论解。

附图说明

图1为实施例第i研究对象边界应力特征示意图；

图2为实施例第i研究对象边界条件应力特征示意图；

图3为实施例第i研究对象边界条件法向应力与转动点关系示意图；

图4为实施例第i研究对象边界条件切向应力与转动点关系示意图。

具体实施方式

为了更好地解释本发明，以下结合具体实施例进一步阐明本发明的主要内容，但本发明的内容不仅仅局限于以下实施例。

本实施例公开了一种基于力边界和平衡条件的应力求解法，所述应力求解法包括如下步骤：

1)在对研究对象准确测量研究的基础上，建立相对应的几何特征描述方程，如图1所示，相对应AB、BC、CD和DA的方程可以表征为：y＝kx+b(如是曲线等形式，则可以以曲线等方程加以表示)。

2)在对研究对象的比重分布特征研究的基础上，建立研究对象在研究区域的比重分布方程，如图3所示，相对应的比重为γ_w,x,γ_w,y,γ_w,z；

3)在对研究对象的边界条件应力特征研究的基础上，并建立相对应的边界条件应力方程；对于二维问题，在图2的基础上，AB面边界法向(σ_N^AB,B)和切向(τ_N^AB,B)应力表达式为：

σ_N^AB,B＝l²σ_xx^AB+m²σ_yy^AB+2lmτ_xy^AB式(1)

式中：l,m为AB面外法向方向余弦值，σ_xx^AB,σ_yy^AB,τ_xy^AB为AB面的边界正应力和剪应力。式(1)和式(2)为AB面边界法向和切向应力和边界条件应力关系表达式，在应力连续的条件下该表达式必须能描述相对应的全部边界条件应力，如图3所示；如果应力不连续，则该表达式不成立。另外，BC、CD、DA等边界均具有与AB面边界应力与条件应力一致的特征。

对于边界条件应力：在进行应力求解时，可以在已知两个面、三个面等(对于四面体、六面体等)或两个边、三个边等(三角形和四边形、五边形等)边界应力条件下，求解对应研究对象的应力，相对应的其它面或边的边界条件应力按求解解的特征加以计算。

4)选取应力的表示方程，使其满足相对应的平衡方程、力的边界条件方程，并求解相对应的各常系数；针对二维问题，表述如下：

假设应力表达式(也可以取其它表示形式)为：

σ_xx＝a_1,1x+a_1,2y+a_1,3x²+a_1,4xy+a_1,5y²+a_1,6x³+a_1,7x²y+a_1,8xy²+…式(3)

σ_yy＝a_2,1x+a_2,2y+a_2,3x²+a_2,4xy+a_2,5y²+a_2,6x³+a_2,7x²y+a_2,8xy²+…式(4)

τ_xy＝a_3,1x+a_3,2y+a_3,3x²+a_3,4xy+a_3,5y²+a_3,6x³+a_3,7x²y+a_3,8xy²+…式(5)

假设对应的比重方程为：

γ_w,x＝γ_0,x+a_4,1x+a_4,2y+a_4,3x²+a_4,4xy+a_4,5y²+a_4,6x³+a_4,7x²y+a_4,8xy²+…式(6)

γ_w,y＝γ_0,y+a_5,1x+a_5,2y+a_5,3x²+a_5,4xy+a_5,5y²+a_5,6x³+a_5,7x²y+a_5,8xy²+…式(7)

式(3)～式(7)中，a_1,1～a_1,8、a_2,1～a_2,8、a_3,1～a_3,8、a_4,1～a_4,8和a_5,1～a_5,8均为常系数；式(3)～式(7)有限循环到i，i属于整数

满足力的平衡方程为：

在任意坐标条件下，应力平衡方程满足的必要条件为相对应的各项系数为零，在假设比重为常数(可以研究比重满足式(6)、式(7)的情况)情况下，则有：

由方程(8)可得：

a_1,1+a_3,2+γ_0,x＝0式(10)

2a_1,3+a_3,4＝0>

a_1,4+2a_3,5＝0>

3a_1,6+a_3,7＝0>

2a_1,7+2a_3,8＝0>

a_1,8+3a_3,9＝0式(15)

……

由方程(9)可得：

a_3,1+a_2,2+γ_0,y＝0>

2a_3,3+a_2,4＝0式(17)

a_3,4+2a_2,5＝0式(18)

3a_3,6+a_2,7＝0式(19)

2a_3,7+2a_2,8＝0>

a_3,8+3a_2,9＝0式(21)

……

如图1所示，对于第i研究对象，在边界条件应力(结合图2可知，也可以为集中力，集中力可以以沿一定半径的弧长或一定长短轴椭圆弧长积分表示(对于二维问题)；或以沿一定半径的球面或一定长短轴椭球面积分表示(对于三维问题))作用下，在应力连续条件下边界应力和边界条件应力必须相等，如存在部分应力不连续，则相对应的边界应力和边界条件应力不相等；但边界条件应力和第i研究对象的重力所产生的力和力矩应该平衡，方程如下：

边界应力和边界条件应力关系：

在应力连续的条件下，存在如下关系式：

(分别为AB,BC,CD,DA面上的边界条件法向正应力和剪应力，分别为AB,BC,CD,DA面上的边界法向正应力和剪应力)，假设AB、DA面上边界条件应力已知，且应力连续，则利用边界条件应力和边界应力相等可以决定相关系数。如果应力不连续，则边界条件应力反应在力和力矩平衡方程之中。

力平衡方程：

X轴方向力平衡：

Y轴方向力平衡：

式(22)～式(23)中，S_i,x^AB,B,S_i,x^BC,B,S_i,x^CD,B,S_i,x^DA,B分别为AB、BC、CD和DA面在X轴方向的投影，S_i,y^AB,B,S_i,y^BC,B,S_i,y^CD,B,S_i,y^DA,B分别为AB、BC、CD和DA面在Y轴方向的投影，S_i为第i研究对象的面积(或体积)。

力矩平衡：对于力矩平衡方程的首要问题就是确定转动点(对于二维问题)或转动轴(对于三维问题)，分析可能的转动方式，从而决定转动点坐标Z(X_N,Y_N)，结合图3和图4可知，其力矩平衡方程如下：

式(24)中，分别为AB、BC、CD和DA面上的边界条件法向正应力和剪应力产生的力矩，M_γw,X，M_γw,Y分别为X、Y轴方向的比重产生的力矩。

按照上述步骤，可以决定一定数量的常系数，因而可以获得研究对象的应力理论解，当研究对象复杂时，可以将整个研究对象划分为几个不同的小对象加以求解，但解必须满足几个不同研究对象应力等之间的关系。

5)结合现行的各种强度准则，对研究对象的受力特性进行详尽分析；也可以结合相对应的本构方程，对研究对象的变形特征进行对比分析，从而确定研究对象的行为特征。具体的分析步骤为：在上述计算获得的应力理论解的基础上，计算对应的主应力，将主应力代入现行的强度准则中，从而决定破坏状态点，结合现行强度理论决定破坏方向(如：MohrCoulomb准则、Griffth准则等)，确定破坏线(对于二维问题)或面(对于三维问题)，对于破坏问题，存在破坏驱动力大于相对应的阻力，亦即应力不连续，进而位移也不连续，对于不连续的问题，则按上述步骤(1)～(4)的方法重新求解对应的应力解，进而可以一步一步决定破坏轨迹。位移求解：对于应力连续问题，利用主应力，根据基于主应力的本构方程计算对应的主应变，假设坐标旋转适宜计算任意方向的应变，对于不连续的应变和应变，根据变形特点计算对应的不连续应变和应力(如：专利《一种边坡渐进破坏全过程计算新方法》(专利号：201610860012.0)提供了一种不连续应变和应力的计算方法)。按照上述步骤，可以获得整个研究对象破坏过程的应力、应变的理论解，并可以与研究对象的现场状态加以对比，从而修正理论的各种物理力学参数。

以上事例仅为举证，而并非是对本发明的实施方式的限定。除上述事例外，本发明还有其他实施方式。凡采用等同替换或等效变换形成的技术方案，均落在本发明要求的保护范围。